Bonjour,

Combien de tours à étages ?

Soit le nombre cherché.

Pour construire une telle tour, on peut prendre entre 0 et (partie entière) cubes rouges.

Soit le nombre de tours à cubes dont rouges :


Pour calculer , il suffit de s'apercevoir qu'on peut mettre (ou pas) un cube rouge tout en bas ou au-dessus de chacun des cubes bleus :


Finalement :
(*)

On calcule :
T(3) = 5
T(4) = 8
T(5) = 13
...


On reconnaît la suite des nombres de Fibonacci, et on conjecture que :

où est défini par , ,

Sauf erreur.

Merci pour l'énigme,

Nicolas

On arrive facilement par récurrence à la suite de la forme u _n+1=u_n+u _n-1, avec u₀=1 et u₁=2.
En effet, pour obtenir un groupe de cubes à partir d'un groupe existant, on peut :
- rajouter au groupe des cubes bleus (u_n)
- rajouter au groupe ayant un cube bleu au sommet des cubes rouges (u_n-1)
On reconnaît la fameuse suite de Fibonacci.
Il y a 377 tours différentes de 12 étages.

La solution générique est (pour n étages ):
f (n) = (((1+sqrt(5))/2)^(n+2)-((1-sqrt(5))/2)^(n+2))/sqrt(5).

Bonjour Jamo!

Voilà je fais confiance à mon programme, qui me dit :

Je trouve qu'il y a donc 376 tours!

Salut, je pense a 377, je suis en train de rechercher la forme générale
merci pour l'enigme

Arg!!! J'ai oublié une combinaison dans mon programme!
Il y a 377 tours !

Voici la suite que je trouve grâce à mon programme :
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

Il s'agit de la suite de Fibonacci (sans le 1 au départ) !
Je suis vraiment dégouté !

pour la subsidière, je propose:
presque la formule de binet

bonjour Jamo et Minkus et bienvenue à Dilia-Aurora !
il y a trois cent septante-sept façons d'empiler les cubes selon la règle
la formule générale pour n cubes = (n+2)ième nombre de Fibonacci
soit E(n) le nombre d'empilements de n cubes
supposons qu'on soit en présence de tous les empilements possibles de n cubes
pour créer des empilements de (n+1) cubes
on peut mettre un cube bleu au-dessus de chacun : E(n)
on peut mettre un cube rouge au-dessus, à condition que le cube supérieur soit bleu; les empilements au cube supérieur bleu proviennent des empilements de (n-1) cubes auxquels on a ajouté un cube bleu; ils sont au nombre de E(n-1)
au total E(n+1) = E(n)+E(n-1)

Bonsoir,

je trouve 377 possibilités.

Salut jamo

Une enigme similaire a ete proposee recemment... en tout cas voici la solution:

n      cubes
01     2
02     3
03     5
04     8
05     13
06     21
07     34
08     55
09     89
10     144
11     233
12     377

La suite de Fibonacci: F0=0 ; F1=1 ; F2=1 ; F3=2 ; F4=3 ; ...
Alors pour n etages, le nombre de possibilites sera F(n-2)

Bonsoir,

Fibonacci quand tu nous tiens...

Sans produire le détail par type, on obtient pour n=12, 377 piles possibles parmi les

Le cas général se calcule via la formule de Binet (avec décalage de deux rangs):
.

Merci pour cette énigme sympa.

Hello,

je me suis servie des nombres en base 2 avec 0 = cube bleu et 1 = cube rouge

voici un exemple de séries qui conviennent :

000000000000
000000000001
000000000010
000000000100
000000000101
000000001000
000000001001
000000001010
000000010000
000000010001
000000010010
000000010100
000000010101
000000100000
000000100001



ma réponse : 377 tours différentes de 12 étages  

Bonjour
cela ressemble beaucoup à Fibonacci...
pour n = 12, il y a 377 étages possibles
pour tout n, il y a ( φ^(n+2) - (1-φ)^(n+2) ) / √5
ou φ est le nombre d'or ( 1+√5 )/2
Merci
Mathieu

Bonjour Jamo

J'ajoute le nombre de tours surmontées d'un cube bleu à celles surmontées d'un cube rouge.
Ainsi, l'exemple fourni par l'énoncé me donne
n3= 3 + 2 donc
n4= 5 + 3 donc
n5= 8 + 5 donc
n6= 13 + 8
n7= 21 + 13
n8= 34 + 21
n9= 55 + 34
n10= 89 + 55
n11=144 + 89
n12=233 + 144

ce qui donne donc 377 tours de 12 étages

377 tours différentes de 12 étages
C'est une suite de Fibonacci u_n=u_n-1+u_n-2

Ci-dessous :

Bonjour Jamo et toutes mes félicitations à Minkus,

Pour résoudre le problème, on procède par itérations à partir (et au-delà) de 3 étages.

Pour une tour de n étages où le rez est bleu, les étages au dessus de celui-ci forment une tour de n-1 étages devant répondre aux conditions de l'énoncé.
Si le rez est rouge, le premier étage doit être bleu et les étages au dessus du premier forment une tour de n-2 étages devant répondre aux conditions de l'énoncé.

On tombe bien évidemment sur la suite de Fibonacci et la solution pour une tour de n étages est .

Dans le cas particulier des tours à 12 étages la solution est donc 377 tours différentes.

377 tours

Bonjour,

En lisant l'énigme j'ai pensé au problème du sac à dos. Je m'y suis inspirée pour faire une récurrence sur n le nombre d'étages et je pose P(n) le nombre de tours admissibles d'hauteur n.
P(1)=2

Si je parcours la tour de bas en haut, je nomme l'étage du premier cube rouge. Pour k fixé, le nombre de tours possibles est le nombre de tours de hauteur n-k-1 (ce qu'il y a au dessus de l'étage k+1, qui est bleu). Donc
avec la convention que P(0)=P(-1)=1. (C'est pour les cas où k=n-1 ou k=n, où on n'a qu'une possibilité à comptabiliser car on ne peut pas mettre d'autres cubes rouges dans la tour.) Un petit changement de variable et j'ai .

Je calcule les premiers termes et je me rends compte que ma formule est en fait une propriété de la suite de Fibonacci, avec un petit décalage dans les termes: P(n)=F(n+2).

Le nombre de tours de 12 étages est donc P(12)=F(14)=377.

Pour les tours à n étages, je me contente de dire qu'il y en a F(n+2), ce n'est pas la peine que je sorte la formule de Binet ou autres méthodes de calcul, on les trouve partout sur le net.

Isis

Bonjour,

On a ici à faire à la suite de Fibonacci.

1 cube: 2 tours
2 cubes: 3 tours
3 cubes: 5 tours
4 cubes: 8 tours
...
12 cubes: 377 tours
...
n cubes: "le (n+2)^ème nombre de Fibonacci" tours.


J'avais déjà donné 2 JFF comme celle-là: JFF_Les cubes du père Spective , JFF_suites de x et de y


Merci pour cette énigme.

Bonjour,

Je trouve 377 tours possibles... merci pour l'énigme !

Estelle

Dans une des t(n) tours de n étages, l'étage inférieur est soit bleu, soit rouge.
S'il est bleu, les étages au dessus forment une des t(n-1) tours de n-1 étage possible.
S'il est rouge, le second étage est obligatoirement bleu, et les étages au dessus forment une des t(n-2) tours de n-2 étages possibles. On a donc t(n)=t(n-1)=t(n-2), avec t(0)=1, t(1)=2, t(2)=3,...on reconnait la suite de Fibonacci (avec les notations classiques t(n)=F(n+2): t(3)=5, t(4)=8, t(5)=13, t(6)=21, t(7)=34, t(8)=55, t(9)=89, t(10)=144, t(11)=233, t(12)=377 qui est le nombre cherché.

Bonjour

Ah Fibonacci, quand tu nous tiens...

Classons donc les tours en deux catégories, celles qui se terminent par un cube rouge et celles qui se terminent par un cube vert, (non, bleu, je blague)

Soit le nombre de tours à n étages se terminant par un cube rouge
Soit le nombre de tours à n étages se terminant par un cube bleu

Evidemment, on cherche

Combien de tours à n+1 étages va-t-on pouvoir construire à partir de ces tours à n étages ?
On prend celles se terminant par un cube rouge : on ne peut que leur ajouter un cube bleu
On prend celles se terminant par un cube bleu : on peut leur ajouter un cube bleu ou un cube rouge

Donc nous pouvons calculer et




On peut calculer


Il nous faut résoudre cette équation

avec les conditions aux limites

et comme je suis feignant, je calcule aussi , même si physiquement, ça n'a aucun sens, cette valeur nous simplifie le calcul de la solution :



a pour solution générale une équation de la forme
(je vous passe le détail des considérations théoriques)
où sont solutions de l'équation

On trouve et

et pour trouver A et B, on soumet l'équation aux conditions initiales.


On trouve finalement

et


Il reste à calculer


Evidemment, cette formule donne le nombre de tours dans le cas général, puis on peut l'utiliser pour calculer le nombre de tours de 12 étages

Ce qui nous donne


Mais on pouvait se contenter, pour calculer le résultat attendu, de dresser le tableau des valeurs successives de à partir des relations de récurrence


Bonne soirée

20 ??

Je dirais 288 possibilités...
J'avoue, un petit programme informatique m'a aidé!!! (En esperant que je ne sois pas trompé en programmant...).

Allez je me lance ,

Selon moi, on peut réaliser 1036 tours différentes de 12 étages en respectant la règle : "il ne doit pas y avoir deux étages rouges consécutifs."

J'ai obtenu ce résultat par une série de calculs (et un peu par hasard il faut le dire ) qui m'amène à une formule _étrange : où   est un multiple de 2 (dans le cas de 12 étages ).

Bon, en espérant un (mais j'ai des gros doutes sur cette énigme).

@+

Bonjour,

Pour 1 étage, on a 2 tours possibles
2 étages, 3 tours
3 étages, 5 tours
4 étages, 8 tours
etc.

On reconnait les termes successifs de la suite de Fibonacci.

Pour 12 étages, on a 377 tours réalisables.

A+,

Bonjour Jamo,
nombre de tours possibles pour n=12
1+12+(10*11/2!)+(8*9*10/3!)+(6*7*8*9/4!)+(4*5*6*7*8/5!)+2=1+12+56+120+126+56+2=373
pour n=2k
nombre de tours avec aucun cube rouge=1
nombre de tours avec 1 cube rouge =n
nombre de tours avec 2 cubes rouges=(n-2)(n-1)/2!
nombre de tours avec  3 cubes rouges=(n-4)(n-3)(n-2)/3!.....
nombre de tours avec   (k-1) cubes rouges=(n-2(k-1)+2))*(n-2(k-1)+3)...*(n-2(k-1)+k)/(k-1)!
nombre de tours avec k cubes rouges =2
pour n=2k-1
idem sauf pour k cubes rouges =1 possibilité

Bonjour,

Après avoir dénombré jusqu'à 8 étages :
T(0) = 0
T(1) = 2
T(2) = 3
T(3) = 5
T(4) = 8
T(5) = 13
T(6) = 21
T(7) = 34
T(8) = 55
...
Ça ressemble à la suite de Fibo (sauf le début qui est 1, 1, 2 ...) avec un décalage

Je pense qu'on peut réaliser différentes de 12 étages.

Je cherche pour n étages....

Merci Jamo. A+, KiKo21.

Re-bonjour,

Question subsidiaire (ne compte pas pour l'énigme) : combien de tours à n étages ?




A+, KiKo21.

Bonjour,

On peut réaliser 372 tours différentes de 12 étages.

Voici le détail:
12 cubes bleus : 1 tour.
11 cubes bleus 1 cube rouge : 12 tours.
10 cubes bleus 2 cubes rouges : 55 tours.
9 cubes bleus 3 cubes rouges : 120 tours.
8 cubes bleus 4 cubes rouges : 126 tours.
7 cubes bleus 5 cubes rouges : 51 tours.
6 cubes bleus 6 cubes rouges : 7 tours.

Soit r_n le nombre de tours de n étages se terminant par un cube rouge
et b_n le nombre de tours de n étages se terminant par un cube bleu

Le nombre total de tours de n étages sera alors t_n=r_n+b_n


Une tour de 1 étage peut être bleue ou rouge donc r₁=1 et b₁=1

Si le dernier étage d'une tour de n étages est rouge on est assuré que l'avant dernier est bleu donc r_n=b_n-1

Si le dernier étage est bleu l'avant dernier peut être bleu ou rouge donc b_n=b_n-1+r_n-1

On a alors t_n=b_n+r_n=b_n-1+r_n-1+b_n-1=b_n-1+r_n-1+b_n-2+r_n-2=t_n-1+t_n-2 (suite de finonacci)

Finalement t₁₂=377

On pourra donc construire 377 tours de 12 étages en respectant la règle

c'est une progression suivant la suite de fibonacci:

à 12 étages, on peut ainsi former 377 tours différentes.
sauf erreur.

on peut faire 2^12 tours différentes.

pour n étages: 2^n tours différentes.

Bonjour !

Voici ma réponse : 1) pour 12 cubes, 144 possibilités

Question subsidiaire : Nn = 1/5 (()^n + (1-)^n), avec =(1+5)/2

Remarque : lien direct avec la suite de Fibonacci
puisque N(n+2) = B(n+2) + R(n+2) = N(n+1) + B(n+1) = N(n+1) + N(n)

Un coup d'intuition, j'espère que c'st juste. En tout cas merci pour l'énigme !

Avec aucun cube rouge, on peut faire 1 tour
Avec un cube rouge, on peut faire 12 tours
Avec deux cubes rouges, on peut faire 55 tours (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
Avec trois cubes rouges, on peut faire 330 tours.(1+4+10+20+35+56+84+120)
Avec 4 cubes rouges, on peut faire 126 tours.(1+4+10+20+35+56)
Avec 5 cubes rouges, on peut faire 35 tours.(1+4+10+20)
Avec 6 cubes rouges, on peut faire 5 tours.(1+4)

Et c'est tout... mais c'est déjà pas mal !

Ca nous fait donc 564 tours.

salut,merci pour l'enigme

dsl je ne sais si j'ai le droit de reparticiper mais ma nouvelle réponse est 43 possibilités

Clôture de l'énigme

Bravo à tous ceux quoi ont trouvé. En effet, c'était encore un coup à Fibonacci pour ce problème !

matovitch >> en effet, ton programme a oublié une solution ... à moins que tu n'aies oublié de dire à ton programme de te la donner, non ?

Angus >> je crois que tu as un petit décalage dans ta formule : pour une tour de n étages, c'est le (n+2)^ème nombre de Fibonacci, pas le n^ème ...

Einsthein >> c'est la 1ère réponse qui compte ... mais même ta 2ème réponse n'est pas bonne.

D'autres semblent avoir utilisé des méthodes de dénombrement que je n'ai pas cherché à comprendre ...

Juste une question, est ce que m'a gnééralisation est bonne, j'ai quelque doute, je n'ai aps la me^mee que les autres, mais c'est peut-être équivalent

je suis béta XD j'ai rien dit, c'est bon

Salut Jamo !

Pour info, j'avais oublié le cas ou tout les cubes sont bleu...Enfantin !

Non, je voulais parler des méthodes qui ont conduit à un résultat faux !

OK  

Bravo à tous les récipiendaires

Etonnants, ces posts, non ?

Citation :

Citation :


          
Sans rancume matovitch

Alors MKY, on chambre les copains ???

salut kiko21

mais matovitch est un JFFien également : il ne fait pas que les z'officielles, il s'amuse aussi avec les JFF...

et on se connaît bien maintenant, je sais qu'il ne le prendra pas mal, à sa juste valeur de joke

_{je t'avouerai que je ne ferais pas ce type de remarque à d'autres mathîlien(ne)s, à l'humour plus...délicat}

Salut MiKaYaou,

_{toutafé... hum !}

Aaaaaahhhh ! Les JFF ! Je n'ai pas trop le temps mais je compte être plus assidu à partir de la semaine prochaine (petit répit entre les cours et les examens !)

A+, KiKo21.