Bonjour tout le monde,
on se place dans un réseau de points à mailles carrées.
On s'intéresse aux triangles dont les sommets sont situés sur des points de ce réseau, et tels qu'aucun point ne se situe sur leurs côtés (attention, cette condition est importante, ne l'oubliez pas en cours de route).
J'ai représenté ci-dessous trois exemples de tels triangles, et j'ai colorié les points se situant à l'intérieur.
Question : trouver un triangle (qui vérifie les conditions données ci-dessus) qui contient uniquement 4 points non alignés à l'intérieur.
Vous pourrez donner la réponse en image, ou en utilisant un système de coordonnées dans un repère.
Bonne recherche !
Bonjour,
le théorème de Pick (A=i+b/2-1) nous assure que l'aire est de 4,5 unités.
En revanche, après une petite recherche, je n'arrive qu'à 3 ou 5 points non alignés ou 4 points alignés.
Sans certitude, je pense que la condition d'alignement est rédhibitoire; il faudrait des points dans l'une des configurations suivantes (à symétrie près):
x__ _x_ x..
xxx xxx xxx
xx xx_
xx _xx
x_ x..
x_ x..
xx xx
(je ne sais pas si c'est compréhensible!)
Par ailleurs, la recherche sur un "grand" triangle (de si petite aire, ce qui aurait tendance à l'aplatir) me semble vaine.
Enfin, le peu de réponses à cette heure penche en faveur de l'impossibilité !!
Je propose donc une réponse (sans image): impossible !
Merci pour l'énigmo.
Bonsoir,
Je pense que le problème est impossible.
Bravo à ceux qui trouveront une solution si elle existe ...
Un triangle formé des point de coordonnées (0;0), (6;11), et (7;11) convient.
Il contient les 4 points (3;5), (4;7), (5;9) et (6;10), non alignés.
Bonjour,
Voici ma solution : il n'existe pas de triangle ayant ces propriétés. Si un triangle contient exactement 4 points (et aucun sur ses bords), ceux-ci sont forcément alignés.
Bonjour,
Après avoir longuement cherché (et de façon totalement infructueuse, je le crains), je me lance en espérant avoir bien lu l'énoncé.
Je crois qu'un tel triangle n'existe malheureusement pas.
Et mon impression est quelque peu confortée par le très petit nombre de réponses enregistrées jusqu'à présent.
Merci pour l'Enigmo et à bientôt !
Bonjour,
Après quelques essais ratés, j'ai fini par trouver la solution et elle parraît très simple.
Il faut prendre un point (disons A) au hasard.
A partir de ce point A, il faut aller vers la gauche de 3 cases et remonter d'une case. Placer à cette intersection le point B.
Revenez au point A. A partir du point A, descendez de 3 cases, puis allez vers la droite d'une case. Placez-y le point C.
Si vous reliez les points A, B et C, vous obtiendrez un triangle, avec aucun somment alignés, et à l'intérieur 4 points non alignés.
Merci pour cette bonne énigme, qui m'a bien occupé sans toutefois trop de difficultés.
Il n'existe pas de tel triangle.
Du moins il est impossible d'en construire un sur un quadrillage de moins de 5000 mailles de côté.
Cette énigme n'admet pas de solution.
Il n'existe pas de triangle entier, n'ayant pas de points entiers sur ses côtés autres que ses sommets, et contenant exactement 4 points intérieurs non alignés.
Bonjour,
Le triangle recherché n'existe pas.
Par contre, il y en a une tripotée avec quatre points alignés à l'intérieur et aucun point sur les côtés, tous de même aire (4,5 carrés)
Clôture de l'énigme
En effet, je vous avais proposé un petit problème impossible pour cette énigme !
Il faudrait que je retrouve où j'ai pioché ce problème, mais il me semble bien que c'est démontrable.
J'EN ÉTAIS SÛR !
Non sérieux, pendant 3 heures non-stop j'ai recherché intensivement, j'ai essayé des centaines de configurations différentes, mais rien à faire, pas moyen de remplir toutes les conditions...
Après j'ai craqué, ça m'énervais trop et j'étais à deux doigts de proposer problème impossible... Mais je me suis retenu à la dernière seconde, en me disant que jamo aurait précisé que le problème était peut-être impossible. C'est ça qui m'a retenu. Je me suis dit que forcément il y avait une configuration correcte, et qu'entre avoir un poisson et ne rien avoir du tout, il valait mieux ne rien avoir du tout. Et donc j'ai abandonné.
J'ai eu tord, si je ne m'étais pas retenu j'aurais eu un smiley. Ça m'apprendra pour la prochaine fois : l'auteur de l'énigme n'est pas obligé de dire que le problème est peut-être impossible.
Je reste néanmoins dégoûté
J'avais bien une preuve "relativiste" du résultat.
La démonstration n'est pas strictement mathématique...
... mais je la pensais assez fiable, surtout à mesure que le temps passait...
Cette preuve la voici :
Sachant que totti1000 et Nofutur2 se tiennent généralement d'assez près sur le temps de réponse,
sachant aussi que Nofutur2 "aime bien" tenter un rush de type "problème impossible",
et attendu que Nofutur2 a répondu en 1h30...
... au bout de combien de temps de silence de totti1000 ne devient-il pas évident que celui-ci cherche en vain une réponse qui n'existe pas, tout en répugnant à poster "impossible" tant qu'il n'en a pas une solide démonstration, et tant qu'il lui reste ne serait-ce qu'un mince espoir de renverser la situation chronométrique en trouvant l'introuvable ?
mon bonjour aux deux artistes !
Salut LeDino
J'ai en effet hésité à poster une réponse rapide "problème impossible", mais cela me paraissait trop risqué, car j'étais loin d'être sûr de moi...
Et pour ton raisonnement, le mien fut inverse !
- Premièrement le fait que Nofutur2 poste aussi rapidement, je me suis dis, il y a forcément une solution.
- Puis, le fait que pour une fois jamo n'ait pas indiqué le fameux "si vous pensez que le problème est impossible alors vous répondrez problème impossible..."
- Puis, ton double post ! Je me suis dis, il a peut-être trouvé une solution, après coup...
Enfin plus le temps passait et plus je savais que je devais trouver une solution si je voulais garder un espoir... Mais j'ai finis par me résigner à poster "problème impossible" (tuant ainsi les espoirs de février)...
En tout cas, une sacrée énigme comme on les aime, et je serai quand même curieux d'en voir la démonstration... Je m'étais arrêté, au théorème de Pick comme l'a soulevé manpower.
Bonne soirée !
L'énigme ne se limitait pas il me semble à une grille 10x8, mais supposait la grille infinie.
Il n'est donc pas possible d'affirmer qu'il n'y a pas de solution sans en avoir une preuve !
Pour ma part j'ai examiné une grille 2000x2000 et j'ai montré en examinant tous les cas qu'il n'y a pas de solution pour une telle grille.
Je suis même allé au-delà en vain...
Il y a peut-être une astuce simple montrant l'impossibilité d'une telle solution.
Bonjour totti1000,
C'est assez amusant d'imaginer les stratégies de chacun.
Cette énigme avait le mérite de créer une situation particulièrement intéressante pour ceux qui jouent (ou qui suivent) la bagarre pour le titre mensuel. C'est pour ça que je suis intervenu .
Et comme le dit masab, ce problème "non borné" entrait dans la catégorie de ceux où exclure plein de solutions ne permet pas d'affirmer qu'il n'y en a pas. Il faut donc une vraie démonstration mathématique. Et elle semble délicate. L'intuition décrite par manpower, qui a probablement touché également la plupart de ceux qui ont répondu "impossible", ne semble pas facile à formaliser pour une démonstration...
Allons jamo,
Je pensais que mon humour aurait été récompensé
En effet c'est impossible,mais mon dessin parait
être une solution border line
Je possède la démonstration qu'il n'existe pas de tel triangle.
La démonstration est un peu longue et pas forcément évidente, je ne peux pas la résumer comme ça.
Si vraiment certains sont intéressés, je peux toujours leur scanner les quelques pages et leur envoyer par e-mail.
Le mieux serait de mettre la preuve en pièce jointe dans ce fil, de façon à ce que tout ceux qui s'y intéresse puisse la regarder !
Bonjour,
Jamo m'ayant fait suivre la démonstration, j'en donne un résumé (un peu arrangé à ma sauce ) pour ceux que ça intéresse.
Considérons un triangle répondant aux conditions posées par l'énoncé. Il s'agit de montrer que les quatre points entiers intérieurs à ce triangle sont alignés.
Plaçons-nous dans un repère orthonormé .
Sans perte de généralité, on peut supposer qu'un des sommets de ce triangle est placé en , origine du repère. Soient les autres sommets du triangle.
Le théorème de Pick nous dit que son aire est égale à 9/2 (nombre de points intérieurs plus la moitié du nombre de points sur les côtés moins 1, soit 4 + 3/2 - 1 = 9/2).
Au signe près, cette aire est aussi égale à . Quitte à échanger et pour avoir le bon signe on peut donc supposer que .
Comme et sont premiers entre eux (car il n'y a aucun point entier autre que les extrémités sur ), ils ne sont pas simultanément divisibles par 3.
Supposons par exemple que ne soit pas divisible par 3. Il existe alors un entier compris entre 1 et 9 tel que .
En reportant dans la relation , on en déduit qu'on a aussi .
Considérons alors la transformation linéaire du plan qui au point fait correspondre le point donné par les formules suivantes :
Comme cette transformation est linéaire, elle conserve l'alignement.
Comme elle est à coefficients entiers, elle transforme un point à coordonnées entières en un point à coordonnées entières.
Il en est de même de la transformation réciproque.
Un calcul facile montre qu'elle laisse invariant le point et transforme le point en et le point en .
Par conservation de l'alignement, il n'y a pas de point entier autre que les extrémités sur ni sur , donc 9 doit être premier avec et avec .
Le nombre est donc égal à 2, 5 ou 8.
Par cette transformation, le triangle a donc pour image l'un des trois triangles , ou de la figure ci-dessous.
Les quatre points entiers intérieurs au triangle sont transformés en les quatre points entiers intérieurs au triangle image.
Or on constate que dans ces trois triangles les quatre points entiers sont alignés.
Donc, par conservation de l'alignement, les points entiers du triangle sont aussi alignés, CQFD.
Bonjour,
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