Bonjour,

Apparemment, le chiffre après la virgule peut très bien être un 0...
Je ne suis pas sûre du tout de ma réponse, mais après quelques essais, en décomposant 30 en 3,0 + 3,0 + 3,0 + 3,0 + ...   (on dira 3,0 * 10 pour aller plus vite ), le produit obtenu est  3¹⁰ = 59 049

_{Interessant, ce sudoku... j'essaierai peut-être de le faire}  

Salut jamo!

On a :
et

@+ et merci pour l'énigme.

Bonjour,

en regardant, pour n variant entre 1 et 30, , on en déduit que la décomposition aura une somme maximale pour n=11 ( )

Le produit maximal sera donc obtenu pour un produit de 11 facteurs le plus proche possible de 2,7.
Quelques essais, à la calculette, montrent que le maximum sera   avec
et une valeur approchée de ce maximum est 61998,93 (pas loin du maximum théorique sus-cité).

Merci pour l'énigmo et le sudoku rigolo.

Merde, erreur de touche TAB...
Je reprends :
On a :
et

et

Ainsi de suite en disant que , le produit vaut alors 50630.710256676; puis et le produit vaut 59049.
De même et le produit vaut alors 61767.339628395.
Ensuite, en continuant, le produit diminue, il faut donc bidouiller la dernière opération (] pour trouver le produit maximal)
Je trouve donc un produit maximal en écrivant et on a :

qui est le produit maximal.
(J'ai mis tous les chiffres de la calculatrice afin d'éviter toute question relative à la précision).
Voilà ce coup-ci j'ai fini, et tant pis pour moi si je me prends un poisson, c'est la faute au clavier
@+

Il faut que les nombres de la décomposition soient égaux.
Quand on cherche le max du produit, on trouve e pour chaque terme.
En se limitant aux chiffres décimaux avec 1 chiffre après la virgule, on trouve un produit max pour la décomposition suivante :
8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8 ce qui donne un produit de 61998,93...

sans grande certitude, mais allons-y tout de meme:

trouvons déja le maximum absolu:
solution de (30/x)^x, donc 62092,7... pour x=11,03 donc les facteurs sont proches de 30/11,03 ~ 2,722

or nos facteurs de doivent posseder au maximum qu'une seule décimale

apres avoir essayé quelques trucs (2,7*9+2,8+2,9), (2,7*10+3), j'obtiens une forme sympatique
2,7*8+2,8*3 ce qui donne presque 61999

sachant que je ne veux pas me lancer dans l'optimisation linéaire en nombre entier (il suffit de toout multiplier par 10 pour se retrouver avec des entiers), avec la méthode de branch and bound entre autres....

étant conscient que quelquefois, certains facteurs solutions sont assez loin de la solution optimale (2,722), je tente tout de même la décomposition suivante:


2,7^8 * 2,8^3

on verra bien s'il fallait vraiment dérouler l'algorithme ou si le hasard suffisait ici...

Et voilà (pendant la digestion!) le sudoku :

Bonjour Jamo et merci pour cette énigme qui aura bien occupé un après-midi pluvieux.

On sait que , lorsque la somme est donnée, le produit de n nombres positifs est maximal quand les nombres sont égaux. Si on décompose 30 en une somme de n nombres, le produit est donc inférieur à (30/n)^n. En étudiant la fonction (30/x)^x, on voit que son maximum est atteint entre x=11 et x=12.
De plus pour n=12, 12/n=2.5 et 12 nombres égaux à 2,5 ont un produit égal à 59604,6..
Les valeurs 10 et 13 pour n donnent un (30/n)^n inférieur à 59604. les variations de (30/x)^x montrent alors que les valeurs de n autres que 11 et 12 ne sont pas optimales.
De plus, pour n=11, le partage de 30 en 8 fois 2,7 + 3 fois 2,8 donne un produit égal à 61998,9, meilleur que ce qu'on peut obtenir avec n=12.

Le n optimal est donc 11.

Pour le premier facteur p fixé, le produit ne peut dépasser p.((30-p)/10)^10. En étudiant cette fonction, on voit qu'on n'aura des chances de battre le record de 61998 que si p=2,6 2,7 ou 2,8. Les décompositions de 30 en sommes de la forme a.2,6+b.2,7+c.2,8 ne sont pas légion. On les étudie toutes et on s'aperçoit que la meilleure est celle déjà trouvée, soit

8 facteurs égaux à 2,7 et 3 facteurs égaux à 2,8, qui donne un produit égal à 61998,93185.

Je propose la décomposition :

30=2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8=2.7*8+2.8*3

Le produit obtenu est environ 61 998.9

Bonjour,

Il semble évident qu'on ne doit pas faire intervenir de chiffre inférieur à 1, sous peine de réduire le produit maximal. De même il ne faut pas que la somme des nombres comprenne un chiffre inférieur à 2. Il faut également utiliser le plus de "grands" chiffres dans la somme, afin de maximiser le produit.
L'idéal est donc de diviser 30 en deux jusqu'à ce que la somme comprenne un chiffre inférieur à deux. En cas de nombre à deux décimales, il suffit de l'arrondir une fois par excès, une fois par défaut.
  (S=30 ; P=225)
  (S=30 ; P=3164.0625)
(S=30 ; P=39078.80570896)

Le produit maximal est donc : P39078.8

Le raisonnement est identique pour tout autre nombre mais on ne peut trouver de formule  donnant directement le produit (enfin ça m'étonnerait ), sauf si le nombre choisi s'écrit sous la forme 2ⁿ avec n^*. Dans ce cas, le produit est : 2^2^(n-1) (comment on met ça en LaTeX ? o_O)
Voilà merci pour l'énigme

1.7+2+2.3+4.9+3+5.4+2.1+4.6+2.9+3+1.1=30
1.7*2*2.3*4.9*3*5.4*2.1*4.6*2.9*3*1.1=57386.2

Bonjour à tous.
ça fait déjà un moment que je consulte l'ile, et je me décide enfin à m'inscrire.

on demande la composition, voici ma réponse:
2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8 = 30

le produit de tous les termes de la somme est:
2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,8x2,8x2,8 61998,9

il y a donc 11 termes dans cette somme. le produit étant maximum lorsque les termes sont égaux.
donne un peu plus de 2,7  il faut donc adapter:

le problème pour le cas général est de trouver le nombre de termes en fonction de la somme:


exemple pour une somme égale à 60:

il y donc 22 termes et
on retrouve la même chose que pour 30 mais en double: soit

c'est ma première participation et je découvre le latex grâce à ce site, il y aura donc forcément des erreurs
(par exemple j'ai pas réussi à mettre le signe <<environegal>> dans le latex et le signe multiplié ressemble un peu trop à "x")

voila donc la régle générale à laquelle je pense:
si S représente la somme
nombre de termes =   (arrondi à l'entier le plus proche)
ensuite on retrouve les termes par division.

cette règle est-elle valable pour toute somme (problème à cause des arrondis) ???
essai avec 45:
je trouve 16,55457485 donc arrondi à 17 termes
pour 16 termes: 2,8¹⁴ x 2,9² = 15311171,98
pour 17 termes: 2,6⁹ x 2,7⁸ = 15334522,07
pour 18 termes: 2,5¹⁸ = 14551915,23

Le maximum de la fonction f(x)=x^(n/x) est obtenu pour x=e=2,71...
On s'en approchera au mieux pour une décomposition en 11 termes, dont 8 égaux à 2,7 et 3 à 2,8:
8*2,7+3*2,8=30 et 2,7^8*2,8^3=61998,9318483091
Pour une solution générale, avec un nombre N, la décomposition se fera en un nombre de termes égal à l'arrondi entier de N/e: si le nombre est assez grand (supérieur à 27), on peut obtenir N comme somme de termes égaux à 2,7 ou 2,8...

A+
Torio

Moi, je dirais:
2,8^3*2,7^8=61998,93
alors que 3*2,8+8*2,7=30

Bonjour,

L'idéal serait de prendre 30/e nombres égaux à e !
Je propose de prendre 11 nombres : 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8. La somme est bien 30 et le produit vaut 61998,93.

Bonjour,

voici ma réponse :

Le maximum est atteint pour la décomposition suivante :
30= 2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.7+2.8+2.8+2.8

Le produit est alors 61998.93185

Merci pour l'énigme

1emeu

bonjour,

je ne trouve pas mieux que 61998,93185
2,8 + 2,8 + 2,8 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 = 30
2,8 * 2,8 * 2,8 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 = 61998,93185

merci pour cette énigme.

Pour cette énigme, on veut trouver des termes dont la somme est égale à 30 et le produit soit maximal.
Pour cela il faut que les termes soient égaux ou les plus proches possibles (cf maximiser une surface connaissant le périmètre).
On a donc l'équation (30/x)^x avec x le nombre de termes.
On cherche pour quel x la solution de l'équation est maximum, on trouve x=11.
Le problème est que chaque terme est égal à 2,72727272...
On doit donc trouver 11 termes qui se rapproche le plus possibles de 2,72727272...

On a donc comme solution pour cette énigme :

Bonjour

Citation :
La décomposition qui donne le produit maximal est : à savoir

Citation :
Lemme 1 : On a

Remarque : Si un alors le produit ne serait pas optimal.

Citation :
Lemme 2 : La décomposition rend le produit optimal si et seulement si  .

Citation :
Je me suis amuse à résoudre le sudoku en image :

pas mieux que :
2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,7x2,8x2,8x2,8= 61 998,93

bonjour
2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8
= 2.7⁸ * 2.8³ = 61998,93184830912
le produit de termes de même somme en même nombre est maximal quand ces termes sont égaux
le produit de termes de même somme est maximal quand ces termes sont égaux et se rapprochent le plus de e
analogie
parmi les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, le plus grand est le polygone régulier
le cercle est la plus grande des figures de même périmètre

Bonjour,

La décomposition suivante me semble donner le produit le plus élevé:

30 = 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,8 + 2,8 + 2,8
et 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,7 x 2,8 x 2,8 x 2,8 61998,9318

où 2,7 et 2,8 sont les décimaux à un chiffre après la virgule qui encadrent le mieux «e», la base des logarithmes népériens.

Pour un entier N quelconque, il faut utiliser E(N/e) termes tous égaux à 2,7 ou 2,8 ... _{je crois}

Bonjour,

la décomposition qui donne le produit maximal est à mon avis :

2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8=8*2,7+3*2,8=30
2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,7*2,8*2,8*2,8=(2,7)⁸+(2,8)³=3061998,9

On verra bien....

Merci et à +, KiKo21.

Salut,

Pas facile ce genre d'énigme...On ne sait pas trop par ou commencer.
J'ai donc imposer pour avoir une idée de la solution que tout les nombre de la somme devaient être égaux.
J'ai donc étudié la fonction

J'ai trouvé que elle possédait un maximum pour x = e
J'ai l'impression que e^30/e = 62092.67 est la valeur maximale que l'on peut atteindre même en considérant que les chiffres peuvent êtres différant.
Cependant il reste des problèmes : e à plus d'un chiffre après la virgule, pour cela nous allons prendre le décimale le plus proche de e : 2.7

Ensuite 30 n'est pas divisible par 2.7, il faut donc essayer de trouver 30 avec une somme de chiffres les plus proches possibles de 2.7

Voila ce qui m'amène à cette solution :



Sur les enigmes de ce genre le poisson est plus que probable mais qui ne tente rien n'a rien

Bonsoir jamo,

Etape 1: On divise 30 par e : . Il faudra décomposer 30 en 11 termes.
Etape 2: On divise 30 par 11: .
Puisque les termes ne peuvent avoir qu'un chiffre après la virgule, on décompose donc 30 en une somme de termes égaux à 2,7 (8x) et 2,8 (3x).

Solution :
  et  

PS 1 : Avec tout autre nombre, comme on l'a fait pour 30, il faut décomposer en une somme dont les termes sont le plus proche de e.

Jolie petite énigme, merci.

Bonjour

Produit maximal d'une suite de décimaux positifs de précision maximale et de somme > 1 données

Somme 30
Précision 0,1

1) il y a au moins un décimal dans la suite
La somme est positive.
2) il y a au moins un décimal supérieur à 1 dans la suite
Le produit d'une suite de décimaux positifs < 1 est < 1
3) Soit S1 une suite donnée, et a>1. S'il existe b<a-0,1, alors
    la suite S2 obtenue en remplaçant a par a-0,1 et b par b+0,1 est meilleure que S1

(a-0,1)(b+0,1)=ab+(a-b)0,1-0,01
or a-b>0,1, donc (a-b)0,1-0,01>0
(a-0,1)(b+0,1)>ab

Pour un nombre n de termes donné, la suite constituée de termes dont la différence est 0 ou 0,1 est donc la meilleure
Calcul du terme inférieur : le décimal de précision donnée le plus grand inférieur ou égal au rapportsomme / nombre de termes
Calcul du nombre de termes supérieurs : (somme-nbTermes*b)/précision





Le produit maximal est atteint quand il y a 8*2.7 et 3*2.8. Ce maximum est alors 2.7^8*2.8^3=61998.93184830912

Bonjour,
Je pense que l'optimum est en :
61998,9318483091

C'est à dire pour:
*

Car, en effet: 2.7*8+2.8*3=30

Bonjour

La décomposition me donne , et il s'agit, sauf erreur, de la solution optimale

Fractal

alors je dirais 2,7x11+2,8x3=30 et donc 2,7⁸x2,8³= environ 61998,93

Je décompose 30

1,1 + 2,2 + 3,3 + 5,4 + 7,6 + 10,4 = 30

Je fais le produit

1,1 * 2,2 * 3,3 * 5,4 * 7,6 * 10,4 3408,56

D'une façon générale le produit de n nombres de somme donnée S sera maximal quand tous les termes seront égaux. Chaque nombre vaut alors  S/n et le produit (S/n)ⁿ.

Pour S=30 la valeur sera maximale pour n=11. Chaque terme vaut à ce moment 30/11=2.7272... et le produit vaut 62088,9428...

Mais ici on impose que les nombres de la décomposition soient des décimaux à un seul chiffre après la virgule

Pour que le total soit 30 il faudra prendre 3 nombres à 2.8 et 8 nombres à 2.7

Le produit total sera alors de
2.82.82.82.72.72.72.72.72.72.72.7=61988.9318...

Bonsoir, même le 14 juillet les maths sont au rendez-vous!
je pense avoir trouvé...Pour avoir le plus grand produit, je pense qu'il faut décomposer le nombre 30 avec le plus de nombre avoisinant... 2! En effet, décomposer le nombre 30 par 0 ou 1 serait stupide car le produit serait un petit nombre...
Par conséquent, je me suis arrangé à décomposer le nombre 30 avec des nombres dont la moyenne est 2.
Donc voici mon résultat:
1,9+2,1+1.8+2,2+1,7+2,3+1,6+2,4+1,5+2,5+1,4+2,6+1,3+2,7+2=30
et le produit de tout ça donne 22 732,4
Dommage qu'il fallait une virgule sinon ça donnait 2¹⁵=32 768
espérons que ce soit juste... sinon merci pour cette énigme et @ +

Bonjour,

Je ne suis pas du tout certain, mais voici quand même ma réponse:

, et



Merci !

rebonjour,
ah non... la grosse gaffe!
je trouvais plus, toujours en décomposant avec 2 mais de cette façon:
2*2,1*2,2*2,3*2,4*2,5*2,6*2,7*2,8*2,9*1,9*3,6= 49 716,5
mais vu que j'ai déjà répondu, c'est perdu!
_{Ne pas confondre vitesse et précipitation}

Coucou!
Je prends 8 fois le nombre 2,7 et 3 fois le nombre 2,8.
Le résultat obtenu est donc 2,7^8*2,8^3, soit environ 61998,9.

L'idée est qu'il faut minimiser l'écart entre les nombres choisis. Si l'on prend toujours le même nombre x=30/z, le résultat est x^z=(30/z)^z, qui est maximal quand z=30/e. Or 30/e est compris entre 11 et 12.
Si on choisit 11, on trouve x entre 2,7 et 2,8, et donc, pour obtenir 30, il faut sommer 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8. On vérifie qu'en prenant z=12 on obtient un plus petit produit.
La méthode se généralise donc à tout autre nombre que 30.

bonsoir jamo

je propose la décomposition du nombre 30 en la somme de 12 nombres décimaux égaux à 2,5
le produit des éléments de cette somme est 59604,64478

merci pour cet enigmo

Salut,

Le meilleur résultat trouvé est :  





Merci !

11 termes dont 8 égaux à 2.7 et 3 égaux à 2.8
   produit obtenu voisin de 61998.93

Bonjour !
Je sens le piège, mais je dirais 2,5*12 = 30 et 2,5¹² = 59604,644775...

sans conviction du tout, mais bon je tente le coup quand même:

30 = 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.7 + 2.8 + 2.8 + 2.8

et 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.7 * 2.8 * 2.8 * 2.8 = 61998.93185

C'est le produit max que j'ai trouvé !

2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5=30
2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5x2.5=59604.64478

Bonjour,
voilà ma proposition:
on montre facilement que le produit recherché est majoré par e^(30/e) environ 62092,67.

Je propose: 30=2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,7+2,8+2,8+2,8
et le produit vaut 2,7^8x2,8^3 environ 61998,93 très proche du majorant.
Merci

Bonjour,

je propose une décomposition en 11 termes : 8 fois 2,7 et 3 fois 2,8

2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,7 * 2,8 * 2,8 * 2,8 61998,9

voilà un problème original

Pour maximiser le produit en gardant une somme constante, il faut avoir des termes égaux. Il n'y a donc qu'à maximiser (30/n)^n, et on arrive finalement à n=e.
D'où je dirais 11 termes, 8 à 2,7, 3 à 2,8 après bidouillage, soit un produit de 61998,9.

Clôture de l'énigme

Je m'attendais à un taux de réussite moins important, alors bravo à toux ceux qui ont réussi et ont même proposé des démonstrations.

En effet, le principe général consiste à décomposer le nombre avec des nombres le plus proche possible de e.
Ainsi, avec des décimaux à 1 chiffre après la virgule, il faut mettre un maximum de 2,7 puis s'arranger un peu sur la fin avec ce qui reste.

Si j'avais imposé des entiers, il faut mettre un maximum de 3, et des 2 avec ce qui reste éventuellement.

D'ailleurs, ce petit jeu est utilisable dès les plus petites classes (en imposant des nombres entiers bien entendu), dès qu'on sait faire des additions et des multiplications.
C'est l'occasion de faire une petite compétition !
Et dans certaines classes, il est possible de faire une ébauche de démonstration en expliquant qu'il vaut mieux mettre des 2 ou des 3 qu'autre chose ...

Bonjour,

J'ai vu mon erreur trop tard en passant ma formule en logarithme... ça m'apprendra à répondre trop vite

Quant au sudoku de l'illustration, je me suis amusée à le résoudre et j'ai trouvé ça :



_{(Dommage que tu ne l'aies pas proposé en énigmes, ça m'aurait fait un smiley de plus )}

On trouve la même chose Flo