Sauf erreur , je trouve un angle au sommet du cône de 37,12 ° (au centième de degré près).

Bonsoir  



On pose R le rayon du petit cercle de base. Le rayon du grand cercle de base est 2R.
On pose a la longueur de la portion de génératrice et le demi-angle au sommet du cône.  sin = R/a  
  a = R/sin.

La distance parcourue par la première fourmi (en rouge) est égale à 4R.
La distance parcourue par la seconde fourmi (en bleu) est 2R + 2a = 2R + 2R/sin

il faut donc résoudre l'équation suivante :











L'angle au sommet du cône est donc    

Bonsoir,

sachant que les points sont diamétralement opposés (tour complet),
ils forment avec le sommet du cône un triangle contenu dans un plan passant par le centre des bases du tronc de cône.

De l'argument d'égalité des fourmis, on tire que l'apothème vaut , ensuite dans un demi-triangle (rectangle), on a le demi-angle a=Arcsin()

Ainsi l'angle marqué vaut a=2Arcsin()37,12°.

PS: L'angle du patron du cône vaut lui °.

Merci pour l'Enigmo.

bonjour
l'angle au sommet du cône est 37,12 degrés au centième de degré près.
si 1 est le rayon de la petite base
la moitié du trajet rouge est 2pi
la moitié du trajet bleu est pi + 1/(sinus de la moitié de l'angle)
la moitié de l'angle a pour sinus 1/pi et vaut 18,560745 degrés

Bonjour

Modulo le théorème de Thales et un peu de trigo je trouve en notant l'angle au sommet :

° à près

Merci pour l'enigme ...

Je dirais que : =0.88(06) enfin tout dépend de la précision. J'espère ,que pour cette premiere vraie enigme, que mon résultat soit bon.

Bonjour,

Soit le demi angle au somment, a le côté (pente) du cône complet, et r le rayon de la base du cône.

r = a sin

La première fourmi parcourt 2 r = 2 a sin
La seconde ....             a + a sin

En simplifiant on arrive à sin = 1

soit = Asin(1/) 18.56

d'où   = 2 =   37.12 degrés

Merci pour l'énigme

Bonjour à tous,

La réponse que je propose est : 37,12°.

Démarche :
Trajet rouge = trajet bleu

...


Merci. Bien à vous.

bonsoir Jamo
je n'ai pas eu le temps de beaucoup participer ce mois ci,je vais quand même répondre
soit r le rayon du cercle bleu
périmètre du cercle bleu  2r
périmètre du cercle rouge 4r

S


O____A


O'___H____B   0A=r=HB =

les trajets des deux fourmis ont la même longueur on doit donc avoir: 4r=2r+2AB
d'où
AB=r
r/AB=sin=1/=>=18,560degrés
l'angle au sommet du cône est égal à 2 il vaut donc 37,12degrés au centième de degré prés
merci pour ce dernier enigmo des vacances en espérant ne pas avoir fait d'étourderies

Soient d le diamètre de la petite base et g la génératrice
Trajet de la 1ère fourmi : 2d
trajet de la 2ème fourmi : d + 2g
Je calcule g en fonction de d et de   angle au sommet du cône
sin(/2) = d/2g et donc 2g = d/sin(/2)
l'égalité des 2 trajets me donne  sin(/2) = 1/
1 solution entre 0 et : = 0,64789221 Radians soit 37,12 degrés

Bonjour à tous,

ma réponse:  

avec l'accent ça donne 37,12 degrés

soit r le rayon du petit cercle,
son périmètre est 2r celui du grand cercle est le double
la différence entre les deux périmètres est le petit périmètre
la génératrice est parcourue 2 fois, sa longueur doit être la moitié du petit périmètre donc r
on détermine le demi-angle au sommet à partir de son sinus,
en remarquant que le cône est coupé à la moitié de sa hauteur:

pas si sympathiques que ça les fourmis, surtout les rouges !

je trouve 9,13° environ

Bonjour,

Si a est l'angle du cône, r est le rayon "d'en haut" et x la longueur de la montée, il faut :

x + 2Πr = 4Πr
soit x = 2Πr

et comme sin(a/2) = r/x = 1/2Π, on tombe sur a = 2.Arcsin(1/2Π)

Ce qui donne un angle de 18.32°.

^{tiens c'est bizarre, j'ai un smiley qui apparaît à la place de la parenthèse ...
j'ai pourtant rien mis avant ???
c'est pas plus mal comme ça remarque ...}

Bonsoir,

La distance parcourue par la fourmi rouge en fonction de l'angle et de la demi génératrice d est : .

La distance parcourue par la fourmi bleue en fonction de l'angle et de la demi génératrice d est : .

Comme les vitesses des deux fourmis sont égales et constantes, et qu'elles arrivent en même temps, on a :

.

D'où :.

Comme le résultat est demandé au centième et en  degrés, cela donne :

Sauf erreur

Merci pour l'énigme

Merci Jamo pour cette dernière énigme estivale.

Je trouve que le demi-angle au sommet du cône vérifie . J'en déduis

L'angle au sommet est donc égal à 37,12 degrés

Je trouve un angle d'environ 37,12°.

Bonjour jamo et félicitations pour tes énigmes!!
L'angle "a" recherché est tel que :
sin(a/2)=(1/pi)
L'angle est donc :
a=37,12°

Bonjour,

Si le cercle de base a un rayon R, le cercle du sommet du tronc de cône a un rayon R/2.

La fourmi rouge fait un trajet de longueur égale à 2R et la bleue doit donc en faire de même.

Le cercle parcourue par la bleue fait R et la portion de circuit rectiligne qu'elle parcourt deux fois doit donc faire R/2.

Coupons le tronc de cône par un plan médian. On a un trapèze dont la base fait 2R, le sommet R et les segments sur les cotés R/2.

Donc, le sinus de l'angle demandé est 1/.

Cet angle fait 18,56 degrés.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Soient le rayon de la base , la longueur d'une génératrice et l'angle au sommet.
Le trajet rouge vaut
Le trajet bleu vaut

On a donc:
Ce qui donne
On regarde ensuite le triangle rectangle d'hypoténuse passant par le sommet et le centre de la base.
On a la relation
Ce qui donne

L'angle au sommet vaut donc : _{arrondi au centième (18,31569...)}


Merci pour l'énigme.

Bonjour

Je note une génératrice, le rayon de la grande base et l'angle recherché.

Dans le triangle rectangle formé par cette génératrice, la hauteur et le rayon de la grande base on a

Le périmètre du cercle de la grande base est et celui de la petite car les rayons sont en rapport de moitié.

On a donc l'égalité

D'où en simplifiant par : soit

Avec la précision demandée je trouve 37,12°.

Sans vérification, merci pour l'énigme

La valeur de l'angle au sommet du cône pour que les deux trajets soient de même longueur est 37,12 degrés.

Merci pour l'énigme

Appelons R1 le petit rayon et R2 le grand rayon
Nous avons d'après l'énoncé : R2=2*R1
On appelle '' l'angle au sommet de la pyramide et h le 'coté' du solide.

En décomposant le trajet des 2 fourmis on obtient:
2R2=2R1+2h

soit h=(R2-R1)=R1

Avec le théorème de Thales et un peu de trigo, on établi:
h=R1/sin(/2)

d'où l'égalité : R1=R1/sin(/2)

et donc =2Arcsin(1/)
soit =37.12°

Bonjour à tous !

Sauf erreur de calcul je trouve un angle tel que :

Bonjour,

L'angle plan est égal à arrondi au centième de degré.

La valeur exacte est

Merci et A+, KiKo21.

gentilles, les fourmis??? Quelle vision de la gentillesse!
18,56 degrés (= arcsin(1/pi))

Pour que les deux trajets aient la même longueur, il faut que l'angle au sommet du cône ait pour valeur 79,08°

Merci pour l'énigme

Après une résolution théorique, on trouve pour l'angle au sommet:

=2arcsin(1/)


soit numériquement:
=37,12°

Bonjour,

Je me demande pourquoi on donne une indication quant au rapport des rayons, le résultat est le même sans cette information.

Soir le grand rayon, le petit rayon, l'angle recherché.

Longueur du chemin rouge:


Longueur du chemin bleu:


Comme on a

d'où

degrés

Isis

Bonjour,

L'angle au sommet vaut soit environ 37,12°

Merci pour l'énigme

angle = 2*Asin(1/pi)=37.1214894338°

                   =37,12° (arrondi au centième)

A+
Torio

Bonjour jamo,

L' angle au sommet du cône est de 37,12°.

Soit r le petit rayon et 2r le grand.
Le trajet aller-retour le long d'une génératrice est donc de :


Le sinus étant le côté opposé sur l'hypoténuse, on obtient :


D'où degrés

si a est le demi angle du cône et r le rayon du petit cercle, donc 2r celui du grand, le trajet sur la génératrice a pour longueur r/sina donc r/sina+2pi*r=4pi*r et sina=1/2pi soit un demi-angle au sommet de 9,158° donc un angle au sommet de 18,32°

Si on note l'angle au sommet du cône, alors la valeur exacte pour que les fourmis arrivent ex-aequo est .

En valeur approchée, cela donne degrés.

angle au sommet :
sin(/2)= 1/
=37,12°

bonjour,

l'angle du sommet du cône est 18,56°

A+

Bonjour Jamo,

L'angle cherché vaut 37,12^o.  Partant de  2R = 2r + 2a  avec  R = 2r  et  a = r/sin(/2), on obtient sin(/2) = 1/ d'où .

je dirais arcsin(1/pi) = 18,56 degrès.

zut, j'ai donné la valeur de l'angle de demi-ouverture, et non l'angle au sommet... Ca donne donc une valeur de 37.12 degrés, et non 18.56...

Bonsoir

En partant de 2r + 2g₁ = 2R
avec R = g.sin( /2)  ,  r = g₂ sin (/2)  et  g - g₂ = g₁
il suffit de calculer 2.arcsin((1/ )  ce qui donne 0.6478922138 rad c-à-d
37°121489 soit
37,12°
A+

Bonsoir,

Voici ma réponse :

il s'agit de résoudre le système suivant
4.Pi=l+2.Pi
sin(theta/2)=2/l

Je trouve un angle de 36.48 degrés

Merci pour l'énigme

1emeu

Clôture de l'énigme

Une même erreur a été faite plusieurs fois : certains ont oublié de multiplier par 2 leur résultat pour avoir l'angle au sommet du cône !!

Fin du suspens pour le mois d'aout : c'est donc Flo08 qui remporte haut la main ce mois, avec non seulement un sans-faute, mais aussi avec un temps moyen plutôt faible. Bravo !

Lol je savais que j'avais faux (j ai repondu trop vite) ^^ Je m'en souviendrais pour la prochaine Encore merci jamo pour cette énigme

Bonjour,

Et merci Jamo  
J'ai eu de la chance, pour une fois toutes les énigmes du mois étaient à ma portée
_{(j'ai quand-même failli me planter sur quelques-unes )}

bonjour,

est-ce que quelqu'un pourrait expliquer où est ma faute? tout comme celle de isiss et piepalm par exemple

merci

lo5707 >> tu écris que la longueur du trajet bleu est de 2*PI*r+l, or c'est 2*PI*r+2*l !

toutes mes félicitations Flo  

Merci Daniel