Soit n=10a+b, où b est un chiffre, et a un nombre de k chiffres: l'équation à résoudre s'écrit alors: 7(10^k*b+a)=2(10a+b) soit 13a=(7*10^k-2)b; b étant un chiffre ne peut être divisible par 13, donc 7*10^k-2 est divisible par 13, ce qui est vrai pour k=13p+5. Comme (7*10^k-2)/13>10^k/2 pour tout k>0, seule la valeur b=1 convient pour que a ait k chiffres. Il y a donc une infinité de solutions avec b=1 et a=(7*10^(13p+5)-2)13; la première, pour p=0 donne a=53846, donc n=536461: 7*153846=2*538461.  

7 * 153846 = 2 * 538461

je pense que le problème est impossible...
en effet :
n est strictement positif et n= somme[de i = 0 à r]10^i*a(i) avec a(r) différent de 0
donc n_ = somme[de i = 1 à r]10^(i-1)*a(i)+10^r*a(0)

on veut 7n_ = 2n
donc 7*somme[de i = 1 à r]10^(i-1)*a(i)+7*10^r*a(0)=2*somme[de i = 0 à r]10^i*a(i)
somme[de i = 1 à r]7*10^(i-1)*a(i)+7*10^r*a(0)=2*somme[de i = 1 à r]10^(i-1)*a(i-1)+2*10^r*a(r)

d'où 7*a(0)=2*a(r)
et quelque soit i entier de 1 à r, 7*a(i)=2*a(i-1)

supposons que a(0)=1 => a(r)=3.5 impossible
              a(0)=2 => a(r)=7 ok
              a(0)=3 => a(r)=21/2 impossible... etc... a(0)=2 et a(r)=7 est la seule solution

mais quelque soit i entier de 1 à r, 7*a(i)=2*a(i-1)
ce qui veut dire que 7*a(r)=2*a(r-1)
                     7*7=49=2*a(r-1) impossible....

Il n'y a pas de solution !
(l'unique solution serait n=0 mais c'est un entier strictement positif)

538461
538461538461
538461538461538461
ETC


Methode pour aboutir:
soit U un entier de i chiffres, q le chiffre des untités et p le nombre composé des i-1 autres chiffres.
(ex U=538461, i=6, q=1 et p=53846)
on a d'après l'équation à résoudre U=q(7.10^(i-1)-0.7)/1.3     (1)
et par la même équation p/(q.10^(i-1)) qui tend vers 70/13 soit 5.38 (2)

or q et p/10^(i-1) sont strictement inférieur à 10 donc q=1   (...et p commence par un 5).

On a alors U=(7.10^(i-1)-0.7)/1.3
il suffit de trouver les solutions entières de cette equation, ça marche pour tous les i multiples de 6.

Bonjour,

Je propose n = 538461.

Première participation à ce site pour ma part. Je trouve le concept extrêmement sympathique.

merci pour l'énigme,

Dagon

538461 ?

du moisn j'ai essayé avec tout les series possible de 1 à 7 chiffres, et je n'ai trouvé aucun résultat. Je pense qu'il n'y a pas de solution.

Clôture de l'énigme

Bravo, une bonne participation et un bon taux de réussite pour cette énigme qui n'était pas si facile que ça.

En fait, j'ai été gentil, je n'avais demandé qu'une seule solution à cette équation. Je crois que si j'avais demandé 2 solutions, cela aurait été nettement plus difficile !

Il y avait une infinité de solutions à cette équation :

538461
538461538461
538461538461538461
538461538461538461538461
etc ...

Le résultat est démontrable, et certains ont proposé des démonstrations.