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equation du degré 6
Bonjour, j'ai une exercice de maths que je ne comprend. pouvez-vous m'aider svp ?? merci !
On souhaite résoudre sur 
l'équation:
(E): x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = 0
1)Grâce à la calculatrice trouver des "racines évidentes"
REP: on trouve r=-1 , 2 et 5
2)En utilisant le theoreme de factorisation et le theoreme d'identification résoudre completement (E)
(x+1)(x-2)(x-5) = (x²-x-2)(x-5) = x³-6x²+3x+10
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x³-6x²+3x+10)*(x³+ax²+bx+c)
On développe le second membre et puis on identifie les coefficient de même puissance en x des 2 membres.
On trouve ainsi les valeurs de a, b et c.
On arrive à :
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x³-6x²+3x+10)*(x³-4x²+2x+4)
On trouve encore que 2 est encore solution de x³-4x²+2x+4
--> x³-4x²+2x+4 est divisible par x-2
x³-4x²+2x+4 = x³-2x²-2x²+4x-2x+4 = x²(x-2) -2x(x-2)-2(x-2) = (x-2)(x²-2x-2)
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x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x+1)(x-2)²(x-5)(x²-2x-2)
Facile de continuer ...
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Sauf distraction. 
d'accord mais quand je developpe le second membre je trouve:
(x^3 - 6x^2 + 3x + 10)(x^3 + ax^2 + bx + c)
= x^6 + (a-6)x^5 + (b-6a)x^4 + (c-6b+3a+10)x^3 + (-6c+3b+10a)x^2 + (3c+10b)x + 10c
ensuite j'identifie les coefficients et je trouve:
a = 1
a-6 = -10
b-6a+3 = 29
donc a = 1
b = -4
c = 7 et non 2 !!
est-ce que ce que j'ai fait est juste ??
NON.
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(x^3 - 6x^2 + 3x + 10)(x^3 + ax^2 + bx + c)
= x^6 + (a-6)x^5 + (b-6a+3)x^4 + (c-6b+3a+10)x^3 + (-6c+3b+10a)x^2 + (3c+10b)x + 10c
a-6 = -10
b-6a+3 = 29
c-6b+3a+10 = -10
-6c+3b+10a = -58
3c+10b = 32
40 = 10 c
on trouve
a = -4
b = 2
c = 4
Et donc comme je l'avais écrit:
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x³-6x²+3x+10)*(x³-4x²+2x+4)
Et on continue comme dans ma réponse précédente.
j'ai identifié les coefficients puis j'ai trouvé la racine évidente qui est 2 et aprés je suis bloqué.j'ai pas conpris comment vous avez procedez
On a montré que:
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x³-6x²+3x+10)*(x³-4x²+2x+4)
et on sait que (x+1)(x-2)(x-5) = x³-6x²+3x+10
-->
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x+1)(x-2)(x-5)(x³-4x²+2x+4) (1)
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On travaille maintenant sur (x³-4x²+2x+4), on trouve que 2 est racine -->
(x³-4x²+2x+4) = (x-2)(x²+Ax+B)
On développe le membre de droite , puis on identifie les coeff de même puissance en x des 2 membres.
On trouve alors A = -2 et B = -2
--> (x³-4x²+2x+4) = (x-2)(x²-2x-2)
Et ceci remis dans (1) -->
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x+1)(x-2)(x-5)(x-2)(x²-2x-2)
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x+1)(x-2)²(x-5)(x²-2x-2) (2)
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On travaille maintenant sur x²-2x-2
x²-2x-2 = x²-2x+1-3
x²-2x-2 = (x-1)² - 3
x²-2x-2 = (x-1)² - (V3)²
x²-2x-2 = (x-1-V3)(x-1+V3)
Et ceci remis dans (2) -->
x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = (x+1)(x-2)²(x-5)(x-1-V3)(x-1+V3)
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Les solutions de x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 10x^3 -58x^2 + 32x +40 = 0, sont donc les mêmes que celles de :
(x+1)(x-2)²(x-5)(x-1-V3)(x-1+V3) = 0
Et donc les solutions sont ...
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Sauf distraction.
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