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equations complexes
Bonjour !
Voilà le sujet que je n'arrive pas à faire :
On a une équation : x^4-4x^3-19x^2-4x+1=0 (appelée (1)).
- Montrer que si x est solution de (1), alors 1/x aussi.
Cette équation est équivalente à x²-4x-19-(4/x)+(1/x²)=0 (on l'appelle (2)) en divisant par x².
- On pose, pour tout x non nul, X=x+(1/x). Montrer que (2) est équivalente à une équation du second degré d'inconnue X.
- Résoudre cette dernière équation, puis (2), puis (1).
merci de votre aide
*** message déplacé ***
Bonsoir,
On a une équation : x^4-4x^3-19x^2-4x+1=0 (appelée (1)).
- Montrer que si x est solution de (1), alors 1/x aussi.
(1) devient si 1/x est solution (car (1/x)^4=1/x^4 et (1/x)^3=1/x^3, etc.) :
1/x^4 - 4/x^3-19/x²-4/x +1=0
On multiplie par x^4 chaque membre avec x qui est diif de 0 car x=0 n'est pas solution de (1) :
1 - 4x-19x²-4x^3+x^4=0-->c'est bien (1)
Cette équation est équivalente à x²-4x-19-(4/x)+(1/x²)=0 (on l'appelle (2)) en divisant par x².
- On pose, pour tout x non nul, X=x+(1/x). Montrer que (2) est équivalente à une équation du second degré d'inconnue X.
X²=(x+1/x)²=x²+2+1/x²
(2) s'écrit :
x²+2+1/x²-4x-4/x-21=0 soit x²+2+1/x²-4(x+1/x)-21=0
mais x²+2+1/x²=X et x+1/x=X
donc (2) devient :
X²-4X-21=0
- Résoudre cette dernière équation, puis (2), puis (1).
Pour (2) on trouve X=7 et X=-3
ce qui donne :
x+1/x=7 et x+1/x=-3 : ce qui va donnner 2 nouvelles équas du second degré.
On doit trouver :
x=(-7+3V5)/2 ; x=(-7-3V5)/2 ; x=(-3+V5)/2 ; x=(-3-V5)/2-->V=racine carrée
..sauf inattentions...
A+
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