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Etude d'une suite
Bonjour
Alors j'ai un devoir maison sur les suites, mais je reste bloquée à la troisième question b). Pour que vous puissiez m'aider, je donne l'énoncé entièrement:
Soit (Un) la suite définie par U0=1 et, pour tout entier naturel, par U(n+1)=(Un+8)/(2Un +1).
1° Calculez U1, U2, U3, U4 sous forme de fractions irréductibles.
2° Grâce au graphique joint en annexe, où est représentée la fonction
f(x)=(x+8)/(2x+1), construire géométriquement sur l'axe des abscisses les points d'abscisses U0, U, U2, U3, U4, U5, U6.
Quelles conjectures pouvez-vous en déduire concernant l comportement de la suite (Un) à savoir: cette suite semble-t-elle monotone, majorée, minorée, convergente? (argumentez et précisez vos réponses)
3° a) Démontrez par récurrence que Un est strictement positif pour tout entier naturel.
b) On pose Vn= (Un-2)/(Un+2). Justifiez que cette expression est définie pour tout entier naturel et que la suite (Vn) est géométrique. [ C'est ici précisément que j'ai un problème parce qu'on ne connait pas l'expression de (Un) qui n'est définie que par récurrence et par son premier terme.]
c) En déduire, pour tout entier naturel, l'expression de Vn en fonction de n puis en déduire que la suite (Vn) converge et donnez sa limite.
4° a) Justifiez que pout tout entier naturel, (Vn)-1 est différent de 0.
b) En déduire pour tout entier naturel, l'expression de Un en fonction de Vn.
c) Vous devriez être en mesure maintenant de justifier quelle est la limite de la suite (Un).
Soit Un+1 = f(Un) avec f la fonction définie sur I avec f: x--> (x+8)(2x+1)
Or le premier terme de la suite est Uo et il est positif, donc tous les termes qui suivent sont positifs sur I pour tout n appartenant a N.
( Pour mieux comprendre, essaye de placer les teres successifs d'une suite de récurrence )
Anassmalki 
b) On pose Vn= (Un-2)/(Un+2). Justifiez que cette expression est définie pour tout entier naturel et que la suite (Vn) est géométrique. [ C'est ici précisément que j'ai un problème parce qu'on ne connait pas l'expression de (Un) qui n'est définie que par récurrence et par son premier terme.]
U(n+1)=(Un+8)/(2Un +1).
V(n+1) = (U(n+1) -2)/(U(n+1) +2) on remplace U(n+1)par(Un+8)/(2Un +1)et on obtient V(n+1)=-3/5 * Vn
d'où Vn fonction de n selon cours
Justifiez que cette expression est définie pour tout entier naturel
il s'agit de vérifier que le dénominateur ne risque pas de s'annuler ....
comme la question précédente montre que les
donc si on obtient V(n+1)=-3/5* Vn
la raison de la suite géométrique est -3/5 , non?
Et donc si j'ai juste, alors il est facile de connaître l'expression de (Vn)
Et comment montrer que que (Vn)-1 est différent de zéro ?
Je ne vois pas du tout comment on peut le montrer
"donc si on obtient V(n+1)=-3/5* Vn
la raison de la suite géométrique est -3/5 , non?
Et donc si j'ai juste, alors il est facile de connaître l'expression de (Vn)"
C'est du cours ! on trouve V(n) = g(n) g à déterminer
"Et comment montrer que que (Vn)-1 est différent de zéro ?
Je ne vois pas du tout comment on peut le montrer"
on écrit (Vn)-1=g(n) - 1
or en examinant g(n)-1 on voit que g(n)-1 <0 quelque soit n
on devrait pouvoir finir
Je ne vois pas ce que vous voulez dire quand vous écrivez que l'on trouve
V(n)=g(n) , g à déterminer.
J'ai jeté un coup d'oeil sur mon cours, et j'ai vu que quand on trouve
V(n+1)=-3/5* V(n), V(n) est une suite géométrique de raison -3/5 et de premier terme V(0) ( qui peut être calculé grâce à l'expression
V(n)=(U(n)-2)/(U(n)+2) sachant que U(0)=1 ).
On a donc l'expression de (Vn)et on en déduit que celle-ci converge vers 0.
Mais comment montrer que Vn-1 est différent de zéro?
"Je ne vois pas ce que vous voulez dire quand vous écrivez que l'on trouve
V(n)=g(n) , g à déterminer."
Je veux dire qu'il faudrait que vous déterminiez g(x) vous même comme entaînement.
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