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Exercice complexe sur les polynomes

Posté par
kk1cp 10-10-07 à 21:01

Voila un exercice ou je rame dh'abitude je suis bons en polnomes...

1 Trouver le polynome P de degré 3 tel que P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0

J'ai troué P(X)=1/3x3-1/2x²+1/6x

Est-ce juste?

2 Demontrer que pour tout entier n1

i²=P(n+1)     (en gros 1²+2²+3²+...+n²=P(n+1))  

> Pas trouvé j'aurais besoin tres grandement de votre aide!


3 En déduire que i²= [n(n+1)(2n+1)]/6

Merci inffiniment c'est un DM pour demain j'ai commecné ya 2 jours mais je n'y comprehn rien a cet exercice mercii

Posté par
kk1cpre : Exercice complexe sur les polynomes 10-10-07 à 21:14

Vos aides s'il vous plait !

Posté par
moctarre : Exercice complexe sur les polynomes 10-10-07 à 21:26

Salut,
4$x^2=P(x+1)-P(x) donc:

4$\Bigsum_{i=1}^n i^2=\Bigsum_{i=1}^n P(i+1)-\Bigsum_{i=1}^n P(i)

En faisant un petit changement d'indice on montre que 4$\Bigsum_{i=1}^n P(i+1)=\Bigsum_{i=2}^{n+1} P(i)

Donc:

4$\Bigsum_{i=1}^n i^2=\Bigsum_{i=2}^{n+1} P(i)-\Bigsum_{i=1}^n P(i)=P(n+1)-P(1) or P(1)=0 donc :

4$\Bigsum_{i=1}^n i^2=P(n+1)

Posté par
kk1cpre : Exercice complexe sur les polynomes 10-10-07 à 21:32

Merci! Pour le premier c'est juste?

et pour la 3 j'aurais encore besoin de toi !! Merci !

Posté par
moctarre : Exercice complexe sur les polynomes 10-10-07 à 21:35

oui je pense que c'est juste.
Pour la dernière question,commence par factoriser P(x).

Posté par
kk1cpre : Exercice complexe sur les polynomes 11-10-07 à 02:08

Re bonsoir Svp j'ai factorisé mais je n'arrive pa a trouver [n(n+1)(2n+1)]/6 merci de m'aider

Posté par
kk1cpre : Exercice complexe sur les polynomes 11-10-07 à 02:09

la forme factorisée est  1/3x(x+1/2)(x+1)

Posté par
moctarre : Exercice complexe sur les polynomes 11-10-07 à 19:15

Bonsoir,
En factorisant tu dois trouver:

4$P(x)=\frac{2x(x-\frac{1}{2})(x-1)}{6}=\frac{x(2x-1)(x-1)}{6}

Donc 4$P(n+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

...


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