Sujet :

exercice 2

Le 1er avril, Harpagon a gagné 30 000 euros à la loterie : il a caché 5000 euros dans son armoire et 25 000 dans sa bibliothèque.
Le lendemain matin, n'étant pas satisfait de cette répartition, il décide de transférer 70 % de l'argent de son armoire vers la bibliothèque. Dans les jours suivants,toujours aussi indécis,il recommence,matin et après-midi, les mêmes opérations. On note u1 le contenu, en euros, de l'armoire au soir du 1er avril, u1= 25 000, v1 = 5000.
On note u2 le contenu de la bibliothèque et v2 le contenu de l'armoire au soir du 2 avril.

1) Exprimer u2 en fonction de u1 et v1.
2) Exprimer v2 en fonction de u1 et v1.
3)Montrer l'égalité matricielle (u2 = (0,6 0,42 ( u1
v2) 0,4 0,58 ) v1 ).
En déduire u2 et v2.
4) Soit n un entier tel que 2 < (ou egal ) n < ( ou egal ) 30, on note un le contenu de la bibliothèque et vn le contenu de l'armoire au soir du n avril .
Soit A la matrice ( 0,6 0,42
0,4 0,58 ).
a) Montrer que ( u3
v3 ) = A² ( au carré ) x ( u1
v1 ).
b)Conjecturer une relation entre ( un
vn ) et ( u1
v1 ).
On admettra que cette conjecture est bonne .
c)A l'aide de votre calculatrice, calculer u4 et v4 , u 10 et v10 , u30 et v30.
d) Quel conseil donneriez-vous à Harpagon pour le mois de mai ?