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Exercice mélangeant trigo et suites
Bonjour,
pour la préparation d'un oral de maths, niveau 1ère S, mon prof m'a donné un exercice mélangeant d'après les informations de la trigonométrie et des suites.
Voici l'énoncé :
Un polygone régulier à "n" côtés (n supérieur ou égal à 3) est inscrit dans un cercle de rayon 1. On note Pn le périmètre de ce polygone et Sn l'aire de la surface qu'il délimite.
(L'énoncé est accompagné d'une figure représentant un cercle de centre O, O faisant parti du triangle AOB (isocèle en O, AO=BO=1), A et B appartiennent au cercle de centre O et font parti du polygone)
A]
1) Que vaut en fonction de n l'angle AÔB
2) Calculer en fonction de n la longueur AB = Pn/n ; en déduire Pn en fonction de n
3) En admettant que limite quand x tend vers 0 de (sinx/x) = 1, calculer limite quand n tend vers l'infini de Pn. (est-ce logique ?)
B]
1) Calculer en fonction de n la longueur OH.
2) Calculer en fonction de n l'aire du triangle OAB
3) En déduire Sn en fonction de n
4) En admettant que limite quand x tend vers 0 de (sinx/x) = 1, calculer limite quand n tend vers l'infini de Sn. (est-ce logique ?)
Pourriez-vous m'aider à la réalisation de cet exo svp 
?
Pour le moment je n'arrive même pas la première question ; en faite, on a été habitué à répondre à des exercices types (pour la trigo ou les suites), donc je ne sais pas si c'est le mélange qui est perturbant pour moi, mais en tout cas je ne vois pas comment il faut s'y prendre. Je vois que pour la première de la partie B, il faudrait utiliser le théorème de la médiane, mais tout ceci résulte de longueurs en fonction de n, et ça me bloque 
A.2. Il s'agit de trouver la longueur de la base d'un triangle isocèle, sachant qu'on connaît l'angle au sommet et la longueur des deux côtés égaux. C'est un exercice classique.
Soit I le milieu de [AB]. Comme le triangle OAB est isocèle de sommet O, la médiane (OI) est aussi hauteur, donc les angles OIA et OIB sont droits.
Or, au sein du triangle OIA rectangle en H, , donc :
Or, comme le triangle OAB est isocèle de sommet O, la médiane (OI) est aussi bissectrice, donc :
On utilise le résultat de la question précédente :
Donc
Or , donc :
tend vers la circonférence du cercle.
Sauf erreur.
Nicolas
Merci beaucoup, avec du recul ça à l'air plus simple, à part le départ pour déterminer AB ^^
Pour la partie B, je commence la première question, et j'aimerai bien avoir votre avis :
On sait que AB = 2 sin
/n
De plus, le triangle BHO est rectangle en H, avec BO comme hypoténuse.
Donc : OH²+BH² = BO²
Soit OH² = BO²-BH² = 1-(sin/n)² car H milieu de AB
Soit OH² = cos²/n d'après la formule fondamentale de trigonométrie.
Donc OH = cos /n
Avec les résultats qui précèdent, pour la question 2 je trouve :
Aire du triangle OAB = (AB*OH)/2 = (2sin/n * cos /n)/2
Soit Aire du triangle OAB = (sin 2/n)/2
Donc Aire du triangle OAB = (sin 1/n)/2 du fait de la périodicité de la fonction sinus.
B.3)
Sn = n*R²*cos(AÔB/2)*sin(AÔB/2) avec n l'ordre du polygone, R le rayon du cercle.
Soit Sn = n*1*cos(/n)*sin(/n)
Donc Sn = [n*sin(2/n)]/2 = [n*sin(1/n)]/2 du fait de la périodicité de la fonction sinus.
Pour la dernière question, je procède comme dans la A.3, mais je ne vois pas ce qu'il faut interprété du résultat :
Sn = n* sin(1/n)/2 = [sin(1/n)/(1/n)] * 1/2
Donc si la limite quand x tend vers 0 de sinx/x = 1, alors la limite quand n tend vers l'infini de Sn = 1* 1/2 = 1/2.
L'énoncé demande "est-ce logique ?", que faut-il interpréter ici ?
B.1. H n'est pas défini dans l'énoncé !
Plutôt que d'utiliser Pythagore, utilise les propriétés des sinus et cosinus :
Or la hauteur est bissectrice etc..., donc :
B.2. J'ai peur que tu aies commis des erreurs majeures dans l'application des formules trigonométrique. Je ne vois pas ce que la périodicité de sinus vient faire là-dedans. Périodicité : sin(x+2.pi)=sin(x)
Or , donc :
B.3.
Je te laisse continuer...
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