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exercice récurrence avec une somme
Bonjour a tous j'ai des p'tit pb avec cet exercice...
Sn = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + ... + 1/ n x (n+1) x (n+2)
1) Démontrer par récurrence que:
Pour tout n Appartient a N*, Sn = n x (n+3)/4 x (n+1) x (n+2)
2) En déduire lim Sn quand x-> + infini
Alors pour l'initialisation j'ai montrer que P1 était vraie, avec n=1 et en remplacant n par 1 dans n x (n+3)/4 x (n+1) x (n+2).
Mais après quand on passe à l'hérédité, j'ai calculé Sn+1, ce qui donne:
Sn+1 = n²+5n+4/4n²+20n+24
Mais après je ne vois pas du tout comment il faut faire, je pense qu'il doit falloir bidouiller "Sn = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + ... + 1/ n x (n+1) x (n+2)" mais je ne vois pas du tout comment faut procéder
Donc j'viens ici pour demander votre aide. Merci d'avance.
bonjour
tout simplement n²+5n+4 = (n+1) (n + 5)
et 4n²+20n+24
= 4 ( n²+5n+6)
= 4 ( n + 2) ( n + 3 ) ça demontre alors ton heredite
bonne comprehension
spmtb
Je suis d'accord avec toi pour dire que 4n²+20n+24= 4 (n+2)(n+3)
Mais pour n²+5n+4 ce n'est pas égal à (n+1)(n+5)!
Ajouter à ça je trouve bizarre qu'il ne faille pas se servir de ça:" Sn = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + ... + 1/ n x (n+1) x (n+2)"...
Si il y a d'autres amateurs...
S (n+1) = S(n) + 1/[(n+1)(n+2)(n+3)]
= n x (n+3)/[4 x (n+1) x (n+2)] + + 1/[(n+1)(n+2)(n+3)]
= ... =
euh écoute en continuant ton calcul j'arrive a untruc complétement inutile :
9n+4/4(11n+6) ( a moins que je me sois trompé c'est fort possible^^) donc je vois pas comment continuer l'hérédité...
Et sinon en continuant le calcul de Sn+1
Sn+1 = n²+5n+4/4n²+20n+24 et en remplacant : (n+1)(n+4)/4[(n+2)(n+3)]
Je trouve 1/6. Est-ce que c'est la limite que l'on nous demande de chercher à la question 2 ?
Merci d'avance....
je reprends donc au debut pour l heredite
S (n+1) = S(n) + 1/[(n+1)(n+2)(n+3)]
= n x (n+3)/[4 x (n+1) x (n+2)] + + 1/[(n+1)(n+2)(n+3)]
=on met tout au meme denom
= [n(n+3)²+4]/ [4(n+1)(n+2)(n+3)]
= [n(n²+6n+9)+4] / [4(n+1)(n+2)(n+3)]
= ( n^3+6n²+9n+4 )/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
=( n + 1 ) (n²+5n+4)/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
= (n+ 1 ) ( n + 1) ( n + 4 ) / [4(n+1)(n+2)(n+3)]
=( n+1) ( n + 4 ) / [4(n+2)(n+3)]
ça demontre alors ton heredite
bonne comprehension
spmtb
Ok merci c'est bon j'ai compris mais y a juste un ik....
Comment tu passe de là : ( n^3+6n²+9n+4 )/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
à là:
( n + 1 ) (n²+5n+4)/[4(n+1)(n+2)(n+3)]
???
-1 est racine "évidente", on peut factoriser par (n-(-1))=n+1... reste à déterminer le trinôme par identification!
euh ouais j'vais voir ça ...qqun me dit comment on fait pour passer de l'un à l'autre....
Parce que la j'suis largué complet.
-1 est racine "évidente", on peut factoriser par (n-(-1))=n+1... reste à déterminer le trinôme par identification!
n^3+6n²+9n+4 = (n+1)(n²+bn+c)
on développe et on identifie....
Oui j'suis d'accord avec toi, mais comment t'as su que pour passer de
la 
n^3+6n²+9n+4) à la : ( n + 1 ) (n²+5n+4) il fallait que le (n+1)
apparaissent?? Par comodité de calcul et pour pouvoir tt résoudre a la fin, par intuition ou parce que c'est dit ?
je ne sais pas, j'ai juste répondu à la question "comment passe-t-on de là à là?"
je vais jeter un coup d'oeil à l'exo!
Démontrer par récurrence que:
Pour tout n Appartient a N*, Sn = n x (n+3)/4 x (n+1) x (n+2)
donc dans S(n+1), il faut faire apparaître (n+1), voilà pourquoi!... c'est dans le contexte de la démonstration par récurrence qu'on pense à factoriser et que l'on cherche une racine "évidente"...
ok?
okok c'est bien ce que je pensais, c'était par raport au conexte qu'il y à ça qui apparait! Merci pour tout les gars.
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