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Exercice sur les séries numériques (vérification et extension)

Posté par
gbm Webmaster 07-12-09 à 15:08

Bonjour, j'ai un exercice que j'ai commencé. Toutefois, je suis bloqué à partir de la question 3.
Voici l'énoncé :

Citation :
1. Soient les séries \sum \frac{(-1)^{k+1}}{k} et \sum \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}.
Démontrer que ce sont des séries convergentes.

2. Soit Ip l'intégrale définie par 3$I_{p} =\int_0^{1} \frac{x^p}{1+x^2} dx pour p0.
a. Calculer I0 et I1.
b. Déterminer la limite de Ip quand p tend vers +.
c. Calculer (Ip + Ip+2) en fonction de p.

3. Montrer que pour tout entier q1, on a
a. 3$\sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^qI_{2q+1} = ln(2)
b. 3$\sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} + (-1)^qI_{2q} = \frac{\pi}{4}

4. Calculer \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} et \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}


3$\red{Mes} 3$\red{REPONSES}

1. En changeant d'indice, on pose p = k+1, on a

\sum \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum \frac{(-1)^{p}}{p-1}

\sum \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} =\sum \frac{(-1)^{p}}{2p-3}

On pose Un = \frac{(-1)^{p}}{p-1}

Par le critère de Leibniz :
* \frac{1}{p-1} est une suite décroissante
* les termes sont positifs
* lim(\frac{1}{p-1}) = 0 à l'infini
=> la série converge (assez simple)

Vn = \frac{(-1)^{p}}{2p-3}

De même par le critère de Leibniz la série converge.

2/ a. 3$I_{0} =\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = Arctan(1) = \frac{\pi}{4}

et 3$I_{1} =\int_0^{1} \frac{x}{1+x^2} dx = 1/2.ln(2)

b. On a
0x1
0x21
1x2+12
1/21/(1+x2)1

d'où 1/2.xpxp/(1+x2)xp car p0.

donc en passant aux intégrales \frac{1}{2(p+1)}Ip\frac{1}{(p+1)}

donc par encadremen, lim(Ip) = 0 en +.

c. Ip + Ip+2 = 3$\int_0^{1} \frac{x^p}{1+x^2} dx + \int_0^{1} \frac{x^{p+2}}{1+x^2} dx

soit 3$I_{p} =\int_0^{1} \frac{x^p(1+x^2)}{1+x^2} dx = \int_0^{1} x^p dx = \frac{1}{p+1}

3. Je ne vois pas comment rédiger ça. Je suis persuadé que ce que j'ai fait avant sert mais c'est le trou noir...

4. ???

Merci d'avance à ceux et celles qui vérifieront mes résultats et qui m'aideront pour la suite.

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:08

NE PRENEZ PAS PEUR FACE A LA LONGUEUR DE CE TOPIC

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:20

Bonjour

Bon début, même si je n'au pas compris pourquoi tu as changé d'indice pour appliquer Leibniz. Mais c'est peut-être pour te rapprocher de l'énoncé donné en cours...

Bon, donc I_p+I_{p+2}=\frac{1}{p+1}

La manière la plus simple de rédiger 3) est de le faire par récurrence. Ca al'air de marcher tout seul... en tenant compte de l'égalité ci-dessus.

Si tu y arrives pas, dis-le, je l'écrirai!

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:26

Bonjour Camélia, merci d'avoir répondu aussi vite

1. Oui, c'était pour se rapprocher de la formule du cours tout simplement

2. Tout est bon, ouf !

3. Par récurrence , je ne l'ai jamais fait dans ce cas précis ...

Initialisation :

pour q = 1 en utilisant I1, ça a l'air de marcher

pour la deuxième pour q = 0, également en utilisant Io.

Hérédité :

il faut bien faire la récurrence par rapport à q ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:29

Oui, bien sur... Simplement dans l'égalité donnée pour les impairs, remplace I_{2q+1}=\frac{1}{2q+2}-I_{2q+3}; après un certain nombre d'erreurs de signe, tu dois trouver ce que l'on veut.

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:40

3$\sum_{k=1}^{q+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^{q+1} I_{2q+3}

Pour aller + vite, voici la même chose pour des copiés-collés :
3$\sum_{k=1}^{q+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^{q+1} I_{2q+3}

or I_{2q+3} = \frac{1}{2q+2} - I_{2q+1} (I_{2q+3} = \frac{1}{2q+2} - I_{2q+1})

d'où 3$\sum_{k=1}^{q+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^{q+1} I_{2q+3} = \sum_{k=1}^{q+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^{q+1} (\frac{1}{2q+2} - I_{2q+1})

= 3$\sum_{k=1}^{q+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + 2(-1)^{q+1}\frac{1}{2q+2} - 2(-1)^{q+1}I_{2q+1}

suis-je bien parti ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:43

Oui, c'est bien de la manip de ce genre...

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 15:48

à partir de là je suis perdu...

j'essaie de simplifier...

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:06

Bon, j'y vais pour les impairs...

\ln(2)=\bigsum_{k=1}^q\frac{(-1)^{k+1}}{k}+2(-1)^qI_{2q+1}=\bigsum_{k=1}^q\frac{(-1)^{k+1}}{k}+2(-1)^q\(\frac{1}{2q+2}-I_{2q+3}\)=\bigsum_{k=1}^q\frac{(-1)^{k+1}}{k}+2\frac{(-1)^q}{2q+2}+2(-1)^{q+1}I_{2q+3}

et... 2\frac{(-1)^q}{2q+2}=\frac{(-1)^{q+2}}{q+1}

que tu rajoutes au bout de la somme!

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:06

Je suis bloqué

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:10

Synchrone... tu ne l'es plus!

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:16

Finalement, c'est plus facile du partir du début pour arriver à l'ordre (q+1)...

J'essaie les pairs

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:27

3$\sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} + (-1)^{q} I_{2q} = \sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} + (-1)^{q} (\frac{1}{2q+1} - I_{2q+2})

= 3$\sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} + (-1)^{q} \frac{1}{2q+1}) - (-1)^{q}I_{2q+2}

= [tex]3$\sum_{k=1}^q \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} + (-1)^{q+2} \frac{1}{2q+1} - I_{2q+2})

Voilà.

est-ce correct ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:38



Enfin, il y a quelques parenthèses parasites, mais c'est bien ça!

Il doit y avoir une méthode où on écrit les égalités sur I_p+I_{p+2} les une sous les autres et un truc du genre téléscopique... mais il y a trop de changements de signe pour ça, et la récurrence n'est vraiment pas compliquée...

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:47

Maintenant que tu me le dis, je suis d'accord .

Pour la dernière question, il faut faire tendre q vers +oo. Comme Ip tend vers 0 on a directement la valeur des sommes.

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:47

?

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 16:54

Oui, absolument!

Posté par
gbm Webmasterre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 17:03

Et bien, je n'ai plus qu'à te remercier pour m'avoir guidé dans la question 3.

Je n'aurais jamais pensé à la récurrence ici tout seul.

A bientôt

Posté par
Camélia Correcteurre : Exercice sur les séries numériques (vérification et extensi 07-12-09 à 17:09

A bientôt!


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