Bonjour à toutes et à tous !

J'ai un DM de maths à rendre demain mais je bloque totalement sur les 2 dernières questions du dernier exercice. Avant de me faire taper sur les doigts comme quoi je souhaiterai tricher, je demande juste un coup de pouce de votre part pour m'amener à trouver le résultat et non pas me donner la réponse d'un coup (je suis d'accord sur le fait que ça n'a aucun intérêt).

Voilà l'énoncé :

u est la suite définie pour tout naturel n1 par :

u_n= 1/(n(n+1))

1- Montrer que cette suite décroît et qu'elle converge. A partir de quelle valeur de n a-t-on u_n<0.01 ?

2- Calculer la somme des cinq premiers terme de u, puis celle des 6 premiers termes et celle des 7 premiers termes. Quelle conjecture peut-on faire à propos de la somme des n premiers termes ?

3- Calculer u_n-(1/n) . En déduire une démonstration de la conjecture précédente.

4- Déterminer la limite de la suite S définie par :
                                         n
S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n = u_p
                                       p=1


Voilà mes résultats :

1- u_(n+1)/u_n<1 donc la suite est décroissante.
1/n et 1/(n+1) convergent vers 0 donc la suite u converge vers 0 et u_n<0.01 pour n>10.

2- Somme des 5 premiers termes = 5/6
Somme des 6 premiers termes = 6/7
Somme des 7 premiers termes = 7/8

Donc la conjecture que l'on peut faire est que la somme des n premiers termes est égale à n/(n+1)

3- u_n-(1/n) = 1/(n+1)

Et la je bloque totalement. J'ai remarqué que si on multiplie u_n-(1/n) par n on a la conjecture qu'on a fait précédemment et si on multiplie u_n-(1/n) par 1/n on obtient u_n . Mais je ne vois pas trop si ça peut me servir à quelques chose ou pas pour finir l'exercice et si oui, comment l'utiliser.

Un grand merci d'avance pour vos conseils.
Pima.