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exercice sur les suites avec démonstration par récurrence
Bonjour,
Je sollicite votre aide :
je n'arrive pas à démontrer une récurrence et pourtant je sais comment on doit s'y prendre : on doit vérifier que c'est vrai pour le premier terme de la suite (c'est plutôt simple) mais ensuite j'ai plus de difficultés pour prouver que si cela est vrai au premier rang alors cela est vrai pour tous les suivants. Le principe est bon?
Voilà l'énoncé :
la suite u(n) est définie pour n supérieur ou égal à 1 par u(n) = 1/(1)²+1/(2)²+1/(3)²+...+1/(n)²
1) démontrer que la suite est croissante ( on fait u(n+1)-u(n) on trouve 1/(n+1)² c'est positif donc la suite est croissante = question résolue )
2)Démontrer par récurrence, que pour tout n supérieur ou égal à 1, u(n)est inférieur ou égal à 2-(1/n)
c'est là que je bloque! pour n=1 2-1/1=1 donc au rang 1 c'est vrai u(n)=1 donc u(n) = 2-(1/n)
j'ai essayé de remplacer n par n+1 dans l'hypothèse de récurrence et de mettre sous le même dénominateur on trouve (2n+1)/(n+1) et je ne vois pas si ça nous avance...
3)Que pouvez-vous en déduire pour la suite u(n) ? je pense qu'elle converge vers 2 non?
Merci de bien vouloir m'aider!
Amélie
Bonjour
Supposons que
On a alors :
On veut montrer que
<=>
En multipliant par (n+1)² positif :
<=>
<=>
<=>
<=>
Qui est tout le temps vrai !
On a donc bien
Bonjour
1) raisonnement et résultat OK
2) La propriété proposée est vraie au rang n=1 de manière évidente.
Supposons qu'il existe un rang n pour lequel la propriété est vraie. Montrons qu'elle l'est aussi au rang n+1 :
On peut remarquer qu'on a la relation suivante : u(n+1) = u(n)+ 1/(n+1)²
On peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence : u(n+1)< 2 -1/n + 1/(n+1)²
Ensuite, je te laisse finir, il suffit de montrer que 1/(n+1)²-1/n < 1/(n+1) ce qui semble vrai à l'oeil nu 
3) La suite u(n) est strictement croisante et est majorée par une suite qui converge. On peut en déduire que u(n) est une suite convergente et qu'elle converge vers une limite finie l telle que l
2 (pas forcement 2 à prioris)
wai, en plein coeur de l'enfer 
Concours dans 6 semaines donc j'ai de quoi m'occuper en ce moment. Et toi tu as pas le bac en fin d'année ?
merci de votre aide j'ai compris votre raisonnement c'est logique!
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