Inscription / Connexion Nouveau Sujet
EXO suites recurrence ,convergence avec des encadrements
Bonsoir tout le monde j'ai un exercice pour demin ( je sais c'est pas bien de s'y prendre ala derniere minute mais franchement sa fe plu d'une heure que je planche dessus et rien a faire j'y arrive vraiment pas j'espere que vous pourrez m'aider sa serait sympatique.
Voici mon exercice :
un est la suite definie par u0=1 et un+1= 1+(1/un)
1) vérifiez que pour tout entier naturel n, un
0 ( celle la g reussi)
2) demontrez par recurrence que pour n 1,
(3/2)
un2
3)on note f la fonction definie sur ]0;+oo[ par:
f(x)=1+(1/x)
Demontrez que pour tout réel x(3/2) et tt réel y(3/2), valeur absolue de (f(x)-f(y)) (4/9)valeur absolue de (x-y)
4) si la suite (un) converge , quelle est sa limite en l ( sa je crois que la reponse est 1 d'apres un+1)
5)Demontrez, en utilisant la question 3 que pour tt n
1: la valeur absolue de ( (un+1)-l)(4/9) valeur absolue de (un-l)
6) demontrez alor par reccurence que la suite (un) converge vers l
3/2 <= Un <= 2
1/2 <= 1/un <= 2/3
3/2 <= 1+1/un <= 5/3
comme 5/3 < 2
3/2 <= un+1 <= 2
A enrober de l'hérédité et la conclusion
.
pour la question 4 :
nous savons que c est une suite récursive, donc sa limite (l) est la solution de l'équation f(l) = 1 + 1/l .
soit : l = 1 + 1/l
l² -l -1 = 0
Le discriminant donne 2 solutions. Attention, une des 2 solutions est négative , donc tu ne l'as prends pas car notre suite est bornée: 3/2 << Un << 2
Donc tu garde la solution l = (1+V5) / 2 . Tu as ta limite.
pour la question 5 , la valeur absolue te force à considérer les 2 cas suivants : soit (Un+1 - l ) > 0
soit (Un+1 - l ) < 0
Pour le 2 iem cas j ai trouvé Un << (17 - 9V5) / 18
ce qui est faux puisque notre suite est bornée.
Pour le 1 ier cas j ai trouvé Un >> 18 / (- 1 + 9V5)
ceci est correct car Un reste entre les bornes.
Comme pour tt n Un >> 18 / ( -1 + 9V5) >> 3/2
alors pour tout n valeur absolue (f(x) - L) << 4/9
pour la question 6 , tu pars de ce qui a été obtenu à la question 5 : Un >> 18 / ( -1 + 9V5)
Tu vérifies au rang n = 0 que ce soit vrai .
tu supposes vrai au rang n .
Et tu vérifies au rang n+1 .
En posant : (1 + 1/Un) >> 18 / (-1 + 9V5)
Je trouve : Un >> (-1 + 9V5) / (19 - 9V5) >> 3/2
Donc la proposition est vrai au rang n+1 .
Annuler
connectez vous