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Exo sur les suites adjacentes
Salut à tous, j'ai un exerciceou je usis ocmplètement sèche dès la première question, si quelqu'un a une petite idée... merci !!
C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x^3 dasn un repère orthonormal. On note S l'aire ( en unités d'aire) du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abcsisses et la droite d'équation x=1.
On divise l'intervalle [0;1]à l'aide des nombres a(i)=i/n avec i compris entre 0 et n
Sur [a(1);a(i+1)] (avec i compris entre 0 et n-1 ), on construit le rectangle de de hauteur f( a(i) ); et le rectangle de hauteur f( a(i+1) ).
On note A(n), la somme des aires des rectangles dans D et on note B(n) la somme des aires des rectangles qui contiennent D
a) Vérifier que pour tout entier naturel n tel que 1 =< n:
A(n)<S<B(n),avec A(n) = (1/n^4)[1^3 + 2^3 + ... +(n-1)^3]
et B(n)= (1/n^4)[1^3 + 2^3 + ... + n^3]
b) On admet ensuite que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/ 2]²
En déduire les expressions de A(n) et B(n) en fonction de n
c) Démontrer que les suites A(n) et B(n) sont adjacentes
d) Determiner la valeur de S
:?
Je n'ai pas encore touché aux primitives et aux intégrales ... Donc c'est possible mais à mon avis ce n'est pas cette méthode que je dois utiliser..
Dans ce cas en faisant un dessin.
Es tu d'accord que l'aire sous la courbe est superieure à la somme des surfaces des petits rectangles formés
par a(i), a(i+1) et f(ai)?
oui... mais comment démontrer ce qu'ils demandent?!
L'aire d'un petit rectangle formé par f(ai) est
A(i)= (a(i+1)-(a(i))*f(a(i))
Or a(i+1)-(a(i)= (i+1)/n -i/n=1/n
Donc A(i)= f((a(i))/n
Et on a dit S>
A(i) (i variant de 0 à n-1)
Donc S>f(a(i))/n
Or f(a(i))= (a(i))3= i3/n3
donc S>i3/n4
Donc S> 1/n4 (03+13+23+...+(n-1)3)
Tu reconnais à droite A(n)
Donc S>A(n)
Tu fais le meme raisonnment maintenant avec les rectangles formés par f(a(i+1))
Ok,merci beaucoup, du coup j'ai réussi à faire toutesles questions sauf la toute dernière...
Oui ok, mais en quoi ça donne la valeur de S ?
Si A(n) converge vers une limite L alors B(n) aura converge aussi vers la meme limite (puisque les suites sont adjacentes)
Or A(n) et B(n) encadrent S donc forcement S est egal a cette limite L
Oui c'est bien logique mais... je croyaisqu'ils voulaient plus une valeur exacte qu'une limite, c'est tout.
Ehbien une limite (si tu la trouve) ce n'est pas une valeur exacte?
Je te repete il faut la trouver pas seulement montrer son existence.
oui nonmais c'est bon mirci beaucoup. victoire!!!
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