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flood sur "déterminer angle de rotation point mobile"

Posté par
oumay 21-03-15 à 23:26

***lafol > question d'origine et flood qui s'en est suivi ...
le topic d'origine et la réponse de Robot sont restés dans le forum supérieur

bonjour tous le monde,
j'ai un problème un peu compliqué que je n'arrive pas à le résoudre tout seul. j'ai un repère fixe R(o,i,j) dans lequel on un point fixe noté B de coordonnées (x,y) et un objet mobile noté A qui navigue dans le plan, représenté par le repère R, cet objet possède une direction qui varie selon la vitesse de rotation. donc à chaque instant l'objet A change de direction.
Mon objectif principale est de trouver l'angle de rotation que doit appliqué l'objet A pour s'orienter et atteindre le point B.
je serai reconnaissante pour vos aides.

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 22-03-15 à 18:02

salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 1 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse)

Citation :
j'ai un repère fixe R(o,i,j) dans lequel on un point fixe noté B de coordonnées (x,y) et un objet mobile noté A qui navigue dans le plan, représenté par le repère R, cet objet possède une direction qui varie selon la vitesse de rotation. donc à chaque instant l'objet A change de direction.
Mon objectif principale est de trouver l'angle de rotation que doit appliqué l'objet A pour s'orienter et atteindre le point B.
je serai reconnaissante pour vos aides.


si c'est ce que j'en comprend il faudrait décomposer le problème en deux parties

dans la premiere partie (celle que je donne ici) proposer un ensemble non denombrable de trajectoires qui admettent une différencielle entre deux points

le point de depart de cette trajectoire sera nommée le point A  
le point d'arrivé sera nommé B

puis on se donne une  variable réelle x dans l'intervalle [0,1] telle qu'a tout élément x de cet intervalle on obtienne un point C et tel que pour x=0 on obtiens C=A
et pour x=1 on obtiens C=B
(en fait une application de l'intervalle [0,1] vers l'espace affine du plan)

ensuite ayant proposé cet ensemble de trajectoires essayer de traiter le probleme à partir de là  où sera déterminé pour tout point C (donc pour tout réel x de cet intervalle [0,1] ) on commencera à traiter la suite de la problématique en recherchant le rayon de courbure sur cette trajectoire au point C -et pour toute trajectoires parmis l'ensemble non dénombrable de trajectoires construites dans la premiere partie

puis cela une fois fait on pourra s'approcher de ce que tu recherche en appliquant le principe du mouvement circulaire uniforme en physique où à chaque rayon de courbure r sur la trajectoire correspondra une vitesse linéaire  \vec {V} donnée

selon la formule \vec {V}=r.\omega.\frac {d\vec {N}}{d\theta} j'explicite plus bas

l'aaceleration vectorielle de la force centripète étant donnée par la formule  \vec {a}=-r.\omega ^2.\vec {N}

description

\vec {N} le vecteur unitaire normale dirigée selon le sens du vecteur \overrightarrow {RC}

R le point centre de courbure sur la trajectoire au point C

\theta l'angle formé par ce mouvement circulaire uniforme

le vecteur  \vec {T}=\frac {d\vec {N}}{d\theta} est le vecteur unitaire et qui est la dérivée du vecteur \vec {N} par rapport à l'angle \theta

\omega =\frac {d\theta }{d.t}   dérivée  par rapport au temps t

les vecteurs \vec {V} et \vec {T} ayants mêmes sens et direction

bon à plus tard pour le chapitre 2 de ma proposition de réponse

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 22-03-15 à 21:29

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 2 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse)

dans ce deuxième chapitre (il s'agit de commencer à traiter la première partie du problème selon ce que je propose)

on va donc commencer par construire l'ensemble non dénombrable \mathfrak {K} est un ensemble de cardinal card (\mathfrak {K})=2^{\aleph _0}  

chaque élément de  \mathcal {T}\in \mathfrak {K} constituant une trajectoire possible passant entre deux points donnés  A et B du plan et qui admette une différencielle

étant entendu que si certes l'ensemble  \mathfrak {K}  n'est pas dénombrable , il ne constitue cependant pas l'ensemble de toutes les trajectoires possibles

par ailleurs pour chaque élément (donc une trajectoire) \mathcal {T}_u\in \mathfrak {K} on va poser une application notée g_u qui à tout réel x de l'intervalle [0,1] on associe un point noté C_{xu}  sur lequel passe la trajectoire  \mathcal {T}_u\in \mathfrak {K}

et tel que g_u(0)=C_{0u}   et g_u(1)=C_{1u}=B

par ailleurs pour chaque élément (donc une trajectoire) \mathcal {T}_u\in \mathfrak {K} on va poser une application notée h_u qui à tout réel  x de l'intervalle [0,1] on associe une matrice notée M_{xu}

où en posant

M_{xu}=\begin {bmatrix}m_{11,xu}&m_{12,xu}\\m_{21,xu}&m_{22,xu}  \end {bmatrix}

on vérifie m_{11,xu}.m_{12,xu} +m_{21,xu} .m_{22,xu} =0

m_{11,xu} .m_{22,xu} -m_{12,xu} .m_{21,xu}  =1

m_{11,xu} ^2+m_{21,xu} ^2=1

m_{12,xu} ^2+m_{22,xu} ^2=1

où la notation m_{ij,xu} désigne la composante située sur la i ième ligne et la j ième colonne de la matrice M_{xu}

matrice que l'on determine pour tout x dans l'intervalle [0,1] par l'application h_u et pour toute trajectoire  \mathcal {T}_u de l'ensemble \mathfrak {K} de toutes les trajectoires que l'on se propose ici de construire

et encore une fois étant entendu que si certes l'ensemble  \mathfrak {K}  n'est pas dénombrable , il ne constitue cependant pas l'ensemble de toutes les trajectoires possibles

par ailleurs le vecteur unitaire de composante \vec {T}=(m_{11},m_{21}) est le vecteur de même direction et sens que le vecteur vitesse \vec {V}  décrit au chapitre 1

bon à plus pour le chapitre 3 et donc continuer à traiter la premiere partie de la problématique selon ce que j'en propose et selon ce que je comprend de ce que recherche le camarade Omay)

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 22-03-15 à 22:17

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 3 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse mais ceci dit le chapitre 3 est facile à écrire puisque c'est un papier collé d'un truc que j'ai déjà écrit sur le forum expresso et servant pour un problème qui n'a rien à voir puisque cet outil n'a strictement rien à voir avec un sujet de géometrie affine et encore moins avec la dynamique -qui est le thème central de ton "énoncé" si j'arrive à le traduire correctement : je proposerai un énoncé correctement formulé à la fin qui ne trahise pas ta pensée )

bref ...on va se munir d'un outil qui servira à contruire notre ensemble    \mathfrak {K} voir chapitre 1 et 2

cet outil constitue un ensemble d'applications (étant entendu que c'est un outil qui va servir pour le chapitre 4


on se donne p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2 dans  \mathbb {R} et tels que p_1<p_2

alors on construit l'ensemble \mathfrak {F} est un ensemble de cardinal card (\mathfrak {F})=2^{\aleph _0}  

dont les éléments sont des applications f:\mathbb {R}->\mathbb {R} de classe C^{\infty}

applications telles que d'une part on vérifie toujours  f(p_1)=q_1 , f(p_2)=q_2 ,  f^{\prime}(p_1)=q^{\prime}_1 ,  f^{\prime}(p_2)=q^{\prime}_2

construction de cet l'ensemble \mathfrak {F}

cet ensemble \mathfrak {F}=\{f:\mathbb{R}->\mathbb{R}|u \in \{1,-1\}| n \in \mathbb{Z} | k \in \mathbb{N}^*pair| l \in \mathbb{N}impair| \lambda \in\mathbb{R}| \lambda \in ]0;1[|w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)\neq 0 |a \in \mathbb{R}|(m,m_1,m_2) \in \mathbb{N}_*^3  \}

lorsque m et   m_1 tendent vers \infty et que a tend vers zero alors la longueur de l'arc de ces applications entre les points (p_1,q_1) et (p_2,q_2) tend vers la distance entre ces deux points

on pose les valeurs p,q,r,v,w,w_0,w_1,w_2 selon :

p=p_2-p_1

q=q_2-q_1

r=q^{\prime}_2-q^{\prime}_1

w=\frac {\pi}{4.v}

w_0=\frac {2.\pi}{p}

w_1=\frac {k.\pi}{p}

w_2=\frac {\pi.m_2}{p}

v\in \{\frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2},\frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}\}

et on pose l'application h(x)=2.\pi.p^{-1}(x-p_1)

et enfin on pose six fonctions f_1(x),f_2(x),...,f_6(x) avec leurs dérivées respectivement f_1^{\prime}(x),f_2^{\prime}(x),...,f_6^{\prime}(x)

f_1(x) = \frac {1}{2}.cos(w_1.(x-p_1))+ \frac {1}{2}  

f_1^{\prime}(x)=  \frac {-w_1}{2}.sin(w_1.(x-p_1))

f_2(x) = \frac {-\lambda}{2}.cos(w_0.(x-p_1)+\pi)- \frac {\lambda}{2}+1  

f_2^{\prime}(x)=  \frac {\lambda.w_0}{2}.sin(w_0.(x-p_1)+\pi)

f_3(x) = q_1+q.sin(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(2^{-1}.\pi^{-1}.q_1^{\prime}.p-4^{-1}.q).sin(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))  

f_3^{\prime}(x)= 2^{-1}.\pi.p^{-1}.q.cos(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(q_1^{\prime}-2^{-1}.\pi.p^{-1}.q).cos(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))

f_4(x) = 2^{-1}.\pi^{-1}.p.(2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r). \frac {cos(v.h(x))-cos(w.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}  

f_4^{\prime}(x)= (2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r) .\frac {w.sin(w.h(x))-v.sin(v.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}

f_5(x) = \frac {1}{2^m}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^m  

f_5^{\prime}(x)= \frac {-m.w_0}{2^m}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m-1}

f_6(x) = \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1+a.sin^l(w_2.(x-p_1))\end {pmatrix}   

f_6^{\prime}(x)= \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} a.l.w_2.cos(w_2.(x-p_1)).sin^{l-1}(w_2.(x-p_1))+\frac {q}{p}\end {pmatrix} +...
...+\frac {m_1.w_0}{2^{m_1}}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1-1}

alors les applications que l'on recherche sont définies par

f(x) = f_1(x).f_2(x).f_5(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix}  +f_6(x)  

f^{\prime}(x)= f_1(x).f_2(x).f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix} +...
...+f_5(x).(f_1(x).f_2^{\prime}(x)+f_1^{\prime}(x).f_2(x)).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix}+...
...+ f_1(x).f_2(x).f_5(x). .\begin {pmatrix} f_3^{\prime}(x)+f_4^{\prime}(x)-\frac {q}{p} \end {pmatrix} +\frac {q}{p}.f_5(x) +f_6^{\prime}(x)

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 22-03-15 à 23:38

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 4 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse )

sur ce chapitre on commence la construction de l'ensemble    \mathfrak {K} voir signification au chapitre 2

il faudra plusieurs chapitres pour en terminer la construction -car c'est long à écrire- et ainsi clore la premiere partie de la résolution de "ton énoncé" , énoncé que je me proposerai de re-écrire à la fin car il est mal formulé et selon ce que j'en ai compris)

évidemment si mon énoncé ne correspondra pas à ce que tu désirai dire il suffira de me le faire savoir

bon je continue...

on se donne donc deux points A=(a_1,a_2) et B=(b_1,b_2) définis sur le repere canonique du plan affine repere d'origine O=(0,0) et associé à la base canonique représenté par la matrice I=\begin {bmatrix}1&0\\0&1\end {bmatrix}

et on se donne (voir chapitre 1) deux vecteurs vitesse que l'on note par commodité \overrightarrow {V_A}=(v_{11},v_{21}) et \overrightarrow {V_B}=(v_{12},v_{22}) et selon ce qu'on a écrit au chapitre 2

en fait \overrightarrow {V_A}=(m_{11,0u},m_{21,0u}) et  \overrightarrow {V_B}=(m_{11,1u},m_{21,1u})

bien relire le chapitre 2 car là ça va se compliquer

de plus l'indice u indiquant une trajectoire parmis d'autres on ne re-écrira pas cet indice étant entendu que ici il s'agit de determiner une trajectoire parmis d'autres possibles

car de plus on aura besoin d'utiliser un parametre que l'on notera u (le parametre decrit dans le chapitre 3 et pour ne pas faire de confusion on simplifie les notations en ne traitant qu'une seule trajectoire)

pour determiner d'autres trajectoire on decrira plus loin la maniere de proceder

par conséquent pour se conformer aux notations  

\overrightarrow {V_A}=\overrightarrow {V_0}=(m_{11,0},m_{21,0}) et  \overrightarrow {V_B}=\overrightarrow {V_1}=(m_{11,1},m_{21,1})

par ailleurs avec l'application g(x)= C_{x}=(c_1,c_2)  sur lequel passe la trajectoire  \mathcal {T}\in \mathfrak {K} pour tout réel x de l'intervalle [0,1]

et tel que g(0)=C_{0}=A   et g(1)=C_{1}=B

par ailleurs avec l'application h(x)=M_{x} matrice de composantes m_{ij,x}

où au point C_{x}=(c_{1x},c_{2x}) est associé le vecteur vitesse   \overrightarrow {V_{x}}=(m_{11,x},m_{21,x})

...bon je reprend plus tard...



Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 23-03-15 à 04:42

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 5 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse )

sur ce chapitre on continue la construction de l'ensemble    \mathfrak {K} amorcé au chapitre 4 (voir signification au chapitre 2)

il faudra plusieurs chapitres pour en terminer la construction -car c'est long à écrire- et ainsi clore la premiere partie de la résolution de "ton énoncé" , énoncé que je me proposerai de re-écrire à la fin car il est mal formulé et selon ce que j'en ai compris)

évidemment si mon énoncé ne correspondra pas à ce que tu désirai dire il suffira de me le faire savoir

bon je continue...

Attention : dans ce qui suit on va noter des angles \theta munis d'un indice mais ces angles n'ont rien à voir avec ce dont on a parlé au chapitre 1 où là bas on a un peu ; sans entrer dans les détails , parlé de l'aspect dynamique de ton énoncé

cet aspect là on le traitera une fois qu'on aura terminé de construire  l'ensemble    \mathfrak {K}

c'est à dire dans la deuxième partie du problème (voir chapitre 1 comment on a décomposé le traitement de ce problème en deux parties)

bref ...

au chapitre 4 on s'ai doté des deux points A et B -attention ces deux points doivent êtres impérativement distincts-et on s'ai doté de deux vecteurs vitesse  \overrightarrow {V_A}=(v_{11},v_{21}) et \overrightarrow {V_B}=(v_{12},v_{22})

à ces deux vecteurs vitesses on associe respectivement deux angles notés \theta _A et  \theta _B dans l'intervalle ]-\pi,\pi] selon

pour v_{21}\geq 0 on pose \theta _A=arccos \begin {pmatrix}\frac {v_{11}}{\sqrt {v_{11}^2+v_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour v_{21}< 0 on pose \theta _A=-arccos \begin {pmatrix}\frac {v_{11}}{\sqrt {v_{11}^2+v_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour v_{22}\geq 0 on pose \theta _B=arccos \begin {pmatrix}\frac {v_{12}}{\sqrt {v_{12}^2+v_{22}^2}}\end {pmatrix}

pour v_{22}< 0 on pose \theta _B=-arccos \begin {pmatrix}\frac {v_{12}}{\sqrt {v_{12}^2+v_{22}^2}}\end {pmatrix}

et on vérifie

v_{11}=\sqrt {v_{11}^2+v_{21}^2}.cos \theta _A

v_{21}=\sqrt {v_{11}^2+v_{21}^2}.sin \theta _A

v_{12}=\sqrt {v_{12}^2+v_{22}^2}.cos \theta _B

v_{22}=\sqrt {v_{12}^2+v_{22}^2}.sin \theta _B

par ailleurs on a précédemment vu au chapitre 2 je cite (en le re-écrivant selon la recommendation dite au chapitre 4)

Citation :
on va poser une application notée g qui à tout réel x de l'intervalle [0,1] on associe un point noté C_{x}  sur lequel passe la trajectoire  \mathcal {T}\in \mathfrak {K}

et tel que g(0)=C_{0}=A   et g(1)=C_{1}=B


et au chapitre 4 on a adopté la notation des composantes de ce point selon C_{x}=(c_{1x},c_{2x})  

de même on a adopté les notations  A=(a_1,a_2) et B=(b_1,b_2) par conséquent

g(0)=C_{0}=A=(a_1,a_2)   et g(1)=C_{1}=B=(b_1,b_2)

la formulation de solution du point C lorsque les points sont écrits sous une forme matricielle

est donné par l'expression C=\begin {bmatrix}c_{1x}\\c_{2x}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix}a_1\\a_2\end {bmatrix}+\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}.\begin {bmatrix}c_v\\c_w\end {bmatrix}

plus loin on parlera de cette matrice qu'on a noté \begin {bmatrix}c_v\\c_w\end {bmatrix} mais auparavant

ici e=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix} est une matrice inversible

notons e_1=\begin {bmatrix}e_{11} \\e_{21} \end {bmatrix} et notons  e_2=\begin {bmatrix}e_{12} \\e_{22} \end {bmatrix}

on pose  e_1=\begin {bmatrix}b_1 \\b_2 \end {bmatrix}-\begin {bmatrix}a_1 \\a_2 \end {bmatrix} et on pose e_2=\begin {bmatrix}-e_{21} \\e_{11} \end {bmatrix}

par ailleurs pour les vecteurs  \overrightarrow {V_A}=(v_{11},v_{21}) et \overrightarrow {V_B}=(v_{12},v_{22})

là aussi on les écrits sous forme matricielle ainsi

\overrightarrow {V_A}= \begin {bmatrix}v_{11} \\v_{21} \end {bmatrix} et \overrightarrow {V_B}=  \begin {bmatrix}v_{12} \\v_{22} \end {bmatrix}

alors on construit deux vecteurs notés

\overrightarrow {W_A}=\begin {bmatrix}w_{11} \\w_{21} \end {bmatrix}=e^{-1} .\begin {bmatrix}v_{11} \\v_{21} \end {bmatrix} et \overrightarrow {W_B}=\begin {bmatrix}w_{12} \\w_{22} \end {bmatrix} =e^{-1} .\begin {bmatrix}v_{12} \\v_{22} \end {bmatrix}

à ces deux vecteurs on associe respectivement deux angles notés \overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} dans l'intervalle ]-\pi,\pi] selon

pour w_{21}\geq 0 on pose \overline {\theta _A}=arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{11}}{\sqrt {w_{11}^2+w_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{21}< 0 on pose \overline {\theta _A}=-arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{11}}{\sqrt {w_{11}^2+w_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{22}\geq 0 on pose \overline {\theta _B}=arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{12}}{\sqrt {w_{12}^2+w_{22}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{22}< 0 on pose \overline {\theta _B}=-arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{12}}{\sqrt {w_{12}^2+w_{22}^2}}\end {pmatrix}


bon je pause un peu...c'est long... il en reste beaucoup à faire

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 23-03-15 à 16:13

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 6 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse )

sur ce chapitre on continue la construction de l'ensemble    \mathfrak {K} amorcé au chapitre 4 (voir signification au chapitre 2)

il faudra plusieurs chapitres pour en terminer la construction -car c'est long à écrire- et ainsi clore la premiere partie de la résolution de "ton énoncé" , énoncé que je me proposerai de re-écrire à la fin car il est mal formulé et selon ce que j'en ai compris)

évidemment si mon énoncé ne correspondra pas à ce que tu désirai dire il suffira de me le faire savoir

bon je continue un peu pour avancer mais là je dois partir je reprendrai plus longuement plus tard...

là tout de suite je fais juste la premiere configuration sur les 17 à faire

on considère donc 17 configurations selon les valeurs des angles  \overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} obtenus

on utilise pour ce faire l'application f:\mathbb {R}->\mathbb {R} et sa dérivée f^\prime donnée sur le chapitre 3

l'ensemble de ces applications qui est définie

\mathfrak {F}=\{f:\mathbb{R}->\mathbb{R}|u \in \{1,-1\}| n \in \mathbb{Z} | k \in \mathbb{N}^*pair| l \in \mathbb{N}impair| \lambda \in\mathbb{R}| \lambda \in ]0;1[|w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)\neq 0 |a \in \mathbb{R}|(m,m_1,m_2) \in \mathbb{N}_*^3  \}

il s'agit alors pour ces 17 configurations de se donner les paramètres  p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2 dans  \mathbb {R} et tels que p_1<p_2

on rappelle qu'il reste à donner la valeur de la matrice  \begin {bmatrix}c_v\\c_w\end {bmatrix}

par ailleurs pour toutes ces configurations on définit un réel l>0

1er type de configuration

\overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} sont dans l'intervalle [\frac {-\pi}{4},\frac {\pi}{4}]

on obtiens l=1

c_v =l.x et c_w =\begin {bmatrix}1\\ f(l.x)\end {bmatrix}

avec les parametres p_1=0
p_2=1
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg(\overline {\theta _A})
q^{\prime}_2=tg(\overline {\theta _B})

on obtiens le vecteur écrit sous une forme matricielle  \overrightarrow {V_{x}}=e.\begin {bmatrix}1\\f^\prime (l.x)\end {bmatrix}  
  

Posté par Profil amethystere : déterminer angle de rotation point mobile 23-03-15 à 18:06

re-salut Camarade Oumay

proposition de réponse : chapitre 7 (je sais pas combien de chapitres contiendra la réponse )

ici sur ce chapitre et avant de continuer les 16 autres configurations deux remarques sont à faire

et un quelques généralitées valables pour toutes les 16 autres configurations

remarque numéro 1

attention:   comme je l'ai dit précédemment j'ai divisé ton problème en deux parties

l'aspect géométrique et l'aspect dynamique

jusque là je ne traite que la partie géometrique de ce problème de sorte qu'en parlant du vecteur \overrightarrow {V_{x}}   (sur plusieurs chapitres je l'ai nommé à tord vecteur vitesse )
je voulais dire que l'unitaire de ce vecteur là correspond au vecteur  \vec {T} dont j'ai parlé au chapitre 1

au chapitre 1 je ne fais qu'aborder vaguement l'aspect dynamique du problème

remarque numéro 2

pour toutes les autres configurations on va poser des matrices

une série de matrices colonnes qui représentent des points et que l'on note O_j=\begin {bmatrix}o_{1j}\\ o_{2j}\end {bmatrix}

et une série de matrices inversibles que l'on note

(attention à ne pas la confondre avec la matrice inversible e  et les matrices colonnes e_i données au chapitre 5 ) et que l'on note  

E_j=\begin {bmatrix}E_{11,j}&E_{12,j}\\E_{21,j}&E_{22,j} \end {bmatrix}

et enfin une série de matrices colonnes que l'on note  Z_j=\begin {bmatrix}z_{1j}\\ z_{2j}\end {bmatrix}

formulations générales valables pour toutes les 16 autres configurations

on obtiens  \begin {bmatrix}c_v\\c_w\end {bmatrix}=O_j+E_j.Z_j

et   z_{2j}=f(z_{1j})

et  \overrightarrow {V_{x}}=e.E_j.\begin {bmatrix}1\\ f^\prime (z_{1j})\end {bmatrix}

les inconnues de ces formulations sont définies selon les 16 types de configurations restants à décrire  

bon à plus tard pour la suite je pause un peu...

Posté par
lafol Moderateurre : déterminer angle de rotation point mobile 23-03-15 à 18:25

Bon, je crois que le camarade Oumay aura compris l'intérêt de cibler sa question .... un peu de ménage ....

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 23-03-15 à 18:31

salut camarade Lafol

...alors qu'est-ce que je fais ? je continue ou pas ?

Posté par
lafol Moderateurre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 23-03-15 à 18:52

Je te l'ai mis là pour que tu puisses continuer si tu as encore des trucs à ajouter....
et Oumay a toujours son topic pour préciser sa question d'origine, dans le forum supérieur.

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 23-03-15 à 19:09

ok camarade Lafol

en fait il en reste pas mal à faire avant même de commencer à aborder l'aspect dynamique du problème

et je terminerai par un énoncé reformulé

(s'il précise le sien je verrai bien avant même d'avoir à le reformuler)

comme de toute façon l'aspect géometrique du problème sera sûrement inchangé quelque soit son énoncé car je le cite

Citation :
Mon objectif principal est de ... ??? ... l'objet A pour s'orienter et atteindre le point B


par conséquent il ne définie pas de trajectoire précise de son objet A et que je nomme point C_x dans mon énoncé , il demande juste que ce point A rejoigne le point B dans son parcours et demande en fait que cette trajectoire admette une differencielle (puisque il s'agit de dynamique classique)

pour le reste à plus camarade Lafol ...

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 25-03-15 à 18:38

... de toute façon j'ai constaté que l'auteur du sujet a disparu  

de plus en ce qui concerne les trajectoires que j'ai donné ici (en fait partiellement car je n'ai pas terminé )

et cela à partir de deux points du plan A et B  associés à deux vecteurs respectivement \overrightarrow {V_A} et \overrightarrow {V_B}
un mobile de position C se deplaçant selon les lois de la dynamique classique dans le plan du point A au point B et tel qu'au niveau du point A son vecteur vitesse est le vecteur \overrightarrow {V_A} et qu'au niveau du point B  son vecteur vitesse est le vecteur \overrightarrow {V_B}  

alors on peut encore en proposer d'autres en rajoutant un autre paramètre réel strictement positif r>0 (autre que le parametre a \in\mathbb{R} et que le parametre \lambda \in\mathbb{R}| \lambda \in ]0;1[déjà présent dans la construction)
et tel que pour r tend vers zero la longueur curviligne de la courbe  entre A et B tend vers la distance entre ces deux point A et B

de fait à la limite j'ouvrirai un sujet sur ce forum expresso avec un titre correct et je laisse celui tel quel ...  


Posté par
oumayre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 26-03-15 à 15:09

bonjour camarade amethyste
merci pour l'explication et merci pour l'aide, je suis toujours là mais je suis entrain de suivre toutes vos réponses pour comprendre l'explication.

Posté par
oumayre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 26-03-15 à 19:14

re-salut

je vais mieux expliquer mon problème par ces deux images :

la 1ère image à t=1 : on a un robot mobile qui navigue dans son environnement il doit calculer l'angle de rotation entre le robot et son objectif (cet angle de rotation dépend fortement de la direction du robot)

la 2ème image à t=2 : le robot se déplace dans un autre endroit, sa direction change donc il veux calculer de nouveau l'angle de rotation entre sa direction et son objectif.

mon objectif principal c'est d'orienter le robot vers son objectif, donc cet angle est connu par la vitesse de rotation du robot qu'il doit exécuter pour s'orienter vers son objectif. donc je veux avoir la vitesse de rotation (angle entre le robot et l'objectif) à t=1, puis à t=2.


merci d'avance pour vos aides.

flood sur déterminer angle de rotation point mobile

flood sur déterminer angle de rotation point mobile

Posté par
lafol Moderateurre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 26-03-15 à 19:39

Ton topic d'origine est là : déterminer angle de rotation point mobile

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 26-03-15 à 19:40

ok camarade Oumay

je continue donc selon l'ensemble des trajectoires  \mathfrak {K}

une fois completement construit cet ensemble constituera un sous ensemble d'un ensemble de trajectoires (encore plus grand)  où on rajoutera un parametre réel  r>0 et tel que pour r tend vers zero la longueur curviligne de la courbe  entre A et B tend vers la distance entre ces deux point A et B

car dans les trajectoires  \mathcal {T}\in \mathfrak {K} que je construit ici et bien que l'ensemble soit non denombrable ce dernier est trop restreint  

puis une fois fait on abordera l'aspect dynamique de probleme

en attendant accepte tu ce que je dit ci-dessous ?  

comme tu l'a vu dans la premiere partie je suppose que ton objet qui va d'un point A vers un point B dans le plan subit la loi du mouvement circulaire uniforme et donc est soumis au vecteur -il s'agit de dynamique donc on ne parle pas de forces mais d'acceleration et de vitesse

est donc soumis au vecteur acceleration \vec {a}=-r.\omega ^2.\vec {N}

attention   ici    r>0 n'a rien à voir avec le   r>0 le parametre qui va permettre d'agrandir l'ensemble des trajectoire et dont je viens de parler   

ce dernier r>0 n'est pas un parametre il designe le rayon de courbure sur la trajectoire et varie donc selon la position de ton objet dans son parcours sur la trajectoire

ce rayon ici est utilisé pour resoudre l'aspect dynamique de ton problème comme décris ci dessous  

ici l'inconnue de ton énoncé n'est pas r>0   -car il s'agit du rayon de courbure - ni le vecteur \vec {N} qui est un vecteur unitaire il s'agit de la normale sur la trajectoire  mais plutôt le parametre   \omega   qui désigne la vitesse angulaire constante

il faut bien comprendre que ce n'est pas parce que cette vitesse angulaire est constante que la norme de ton vecteur vitesse sera constant

car la norme de ton vecteur vitesse est donné par ||\vec {V}  ||=r.\omega et donc dépend aussi de la trajectoire de ton objet (en fait le rayon de courbure   r à un point donné sur sa trajectoire)

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 26-03-15 à 19:59

avant de continuer il vaut mieux te poser la question car il est important que l'on se mette d'accord sur ce point capital :    

sur ce dernier point dont je viens de parler (traitant de l'aspect dynamique de ton problème)

c'est bien le parametre (et uniquement le seul) \omega et qui est une vitesse angulaire constante que tu doit poser dans ton énoncé  

comme je viens de le dire mais je le redit :

il faut bien comprendre que ce n'est pas parce que cette vitesse angulaire  \omega est constante que la norme de ton vecteur vitesse sera constant

on est d'accord ?

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 27-03-15 à 18:56

... étant donné que ton énoncé initial est mal posé

que pense tu de cet énoncé et te conviens t-il ?  

soit un robot se déplaçant sur le plan et pouvant tourner sur lui même afin de modifier sa direction de deplacement

déterminer un ensemble de trajectoires au choix du robot afin que partant d'un point A du plan selon une direction définie par le vecteur unitaire \overrightarrow {T_A}

il arrive sur le point B selon une direction définie par le vecteur unitaire \overrightarrow {T_B}

toute trajectoire (au choix du robot) associant à tout réel x dans l'intervalle [0,1] la position du robot au point C et selon une direction définie par le vecteur unitaire \overrightarrow {T_C}

et tel que pour x=0 on obtiens C=A et   \overrightarrow {T_C}=\overrightarrow {T_A}

et tel que pour x=1 on obtiens C=B et   \overrightarrow {T_C}=\overrightarrow {T_B}

il reviens ensuite à toi de te donner les parametres techniques suivants pour ton robot

sa vitesse maximale notée ||\overrightarrow {V}_{max}|| et son acceleration maximale notée ||\overrightarrow {a}_{max}|| et enfin sa vitesse angulaire maximale de sa rotation notée \omega _{max}

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 29-03-15 à 06:58

cet énoncé te conviens t-il ?  

si oui j'ouvrirai un sujet sur cette rubrique "expresso" reprenant cet énoncé et je laisse  celui là en plan

de plus en me relisant j'ai du mal à me suivre tellement je suis illisible et brouillon là pour le coup


Posté par
oumayre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 29-03-15 à 16:23

merci pour cette bonne explication, je suis totalement d'accords avec l'énoncé que vous avez proposer. Mon objectif est de trouver la vitesse angulaire ou de rotation entre le robot et de son objectif. donc à chaque instant, le robot est conçu à calculer l'angle qui lui sépare de son objectif pour ajuster sa vitesse de rotation jusqu'à atteindre le point B. Mais est ce qu'on peut représenter la vitesse angulaire en fonction de sa vitesse et de son accélération?

merci pour votre réponse

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 29-03-15 à 21:25

Citation :
je suis totalement d'accords avec l'énoncé que vous avez proposé


ok ! donc j'ouvre un sujet avec ce nouvel énoncé et essaye de faire un truc plus lisible et moins brouillon
ceci étant compte tenu de votre question là (j'ai un petit doute sur le fait que vous soyez d'accord)

Citation :
  Mais est ce qu'on peut représenter la vitesse angulaire en fonction de sa vitesse et de son accélération?  


pas representer mais adapter plutôt (car sinon il risque de déraper et perdre son équilibre)
mais si vous êtes d'accord cette question est alors hors propos car

c'est quand même un énoncé que si il est traité restera loin de votre objectif :
que les choses soient claires tout ce dont l'énoncé traitera c'est uniquement ce que j'ai dit le 27-03-15 à 18:56

donc tres loin de ce qui suit là et de votre question
le robot est munis de trois mecanismes qui fonctionnent de façon simultanées et dont on ne parlera pas
1)un mecanisme lui permettant de se deplacer selon une direction donnée avec une vitesse maximale donnée

2)un mecanisme lui permettant de pivoter sur lui même et donc de changer de direction
(avec plusieurs possibilités au choix du constructeur)
-soit selon une vitesse angulaire constante
-soit selon une vitesse angulaire variable  

3)un mecanisme qui lui permet à chaque instant de determiner sa position et sa direction et de determiner la position et la direction à l'instant suivant pour qu'au final il rejoigne le point B et selon une direction donnée

________________________


c'est toujours d'accord ?

Posté par
oumayre : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 30-03-15 à 05:59

salut,

je suis d'accords, même si cet énoncé est loin de mon objectif principal mais ça va m'aider en toute sorte.  

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 31-03-15 à 06:32

ok Oumay donc pour que tout soit clair et lisible on suivra ce fil là dont le titre est "trajectoires dans le plan" sur le lien là https://www.ilemaths.net/sujet-trajectoires-dans-le-plan-637171.html#fin

Posté par Profil amethystere : flood sur "déterminer angle de rotation point mobile" 31-03-15 à 06:34

ok Oumay donc pour que tout soit clair et lisible on suivra ce fil là dont le titre est "trajectoires dans le plan" sur le lien là trajectoires dans le plan et on abandonne donc ce fil là


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