Soit une fonction polynôme P et soit delta(P) la fonction polynôme : x -> P(x+1)-P(x)
1. Calculer delta(P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de degré 2.
Comparer deg delta(P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg delta(P) et deg P si deg P  1 et démontrer ce résultat.
2. Montrer que delta²(P) = delta(delta(P)) est la fonction polynôme :
x -> P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour 3(P) = delta(delta(delta(P))).
3. Que peut-on dire de delta^3(P) lorsque deg P=2, puis lorsque deg P = 3 ?
4. Montrer que pour toute fonction polynôme P degré 3, on a pour tout réel x :
   P(x+4)+6P(x+2)+P(x)=4[P(x+3)+P(x+1)]
5. Application
   Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
   P(-3)=P(-1)=P(1)
   P(-2)=P(0)
(Utiliser la question 4 et montrer que le polynôme Q(x)=P(x)-P(0) a cinq racine et conclure.)

Salut,

Le même exo a déjà été traité.

Une petite recherche...

Ouai je l'ai trouvé mais
1. Il est pas fait en entier
2. Je comprend pas trop...

Si vous pouvez m'aider s'il vous plaît c'est pour demain... :s

bonjour,
1)degré de P=0=> P est une fonction costantexréel P(x)=Kd'où (x)=K-K=0
  degré de P=1 P(x)=ax+b => P(x+1)=a(x+1)+b=>(P)(x)=a(x+1)+b-(ax+b)=a
  degré de P=2 P(x)=ax²+bx+c=>P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
d'où (P)(x)=2ax+a+b
si degP1 tu vérifies que deg(P)=degP-1

merci et pour la suite stp ???

si degP=n     p(x)=a _nxⁿ+........+a₁x+a₀ P(x+1)=a_n(x+1)ⁿ +..........a₁(x+1)+a₀  le terme de p)lus haut degré de (P)(x) provient de la différence a_n(x+1)ⁿ-a_nxⁿ et tu verifies que les xⁿdisparaissent..dans la différence suivante les x^n-1disparaissent.....
donc le degré de (P)est nnnn-1

est n-1

ouai et pour ^3 ???

si le degré de P est1 on a vu que le degré de P=degP-1 donc degP=2=>degP=1=>deg²P=0=>deg³P=0
si le degP=3 tu fais la même chose le dgré baisse d'une unité à chaque fois

oui merci et pour le 4) et 5) ? sil vous plaît ?

bonsoir,désolée le mercredi je rentre tard
question 4)
j'ai trouvé ³P(x)=P(x+3)-3P(x+2)+3Px+1)-P(x)
si degP=3 P³est de degré 0 donc c'est une constante K
donc ³P(x)=K=³P(x+1) ce qui donne
P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)=P(x+4)-3P(x+3)+3P(x+2)-P(x+1)
4P(x+3)+4P(x+1)=P(x+4)+6P(x+2)+P(x) sauf erreur de frappe

ok merci beaucoup
pour la 5) s il vous plaît ... car c est à rendre pour demain ....
MERCI ENCORE

on donne à x la valeur -3 dans la relation trouvée au 4)
4P(0)+4P(-2)=P(1)+6P(-1)+P(-3)  (1)
siP(0)=P(-2)etP(1)=P(-1)=P(-3)  (1)=>8P(0)=8P(1)=>P(0)=P(1)
d'où  
    Q(-3)=P(-3)-P(0)=0
    Q(-1)=P(-1)-P(0)=0
    Q(1) = P(1)-P(0)=0
    Q(-2)=P(-2)-P(0)=0
    Q(0) =P(0)-P(0)=0
donc le polynome Q aurait 5 zéros ,comme degP=3 on a aussi degQ=3 et Q ne peut pas s'annuler 5 fois
donc il n'y a pas de polynôme P de degré 3 satisfaisant aux conditions données

MERCI BEAUCOUP