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fonction

Posté par caro46 (invité) 23-10-07 à 21:06

bonjours, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice:

il est question d'une fonction, on nous donne son tableau de variation:
dan l'intervalle [0;+ l'inf.]: lorsque x=0, f(x)=1, lorque x=1,f(x)=0 et à +l'infini f(x) vaut 1. De plus le tableau de varation nous montre que la fonction est décroissante dans l'intervalle [0;1] et est croissante dans [1;+l'inf.]

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation f(x)= 1/n admet deux solutions Un et Vn,respectivement comprises dans les intervalles [0;1] et [1;+linf].

2.déterminer le sens de variation des suites (Un) et (Vn).

3.Montrer que la suite (Un) converge et trouver sa limite. Procéder de même pour la suite (Vn)

Voila, merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteurre : fonction 23-10-07 à 22:03

Bonsoir,

1) Tu appliques le TVI 2 fois en remaquant que 0<\frac{1}{n}<1 pour n\geq 2:

Une fois sur [0,1] où f est décroissante et continue.

Une fois sur [1,+\infty[ où f est croissante et continue.

2) f(u_n)-f(u_{n+1})=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0

donc f(u_n)>f(u_{n+1})

comme f est décroissante sur [0,1], on en déduit u_n<u_{n+1} et (u_n) est croissante.

f(v_n)-f(v_{n+1})=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0

donc f(v_n)>f(u_{v+1})

comme f est croissante sur [1,+\infty], on en déduit v_n>v_{n+1} et (v_n) est décroissante.

3) On a \frac{1}{n}>0 soit f(u_n)>f(1)

comme f est décroissante sur [0,1], on en déduit u_n<1

(u_n) est donc croissante et majorée: elle converge vers l.

On a \lim_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0 donc \lim_{n\to +\infty} u_n=1 car f est continue sur [0,+\infty[.

Même raisonnement pour (v_n) qui tend aussi vers 1


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