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fonction 1ere S
2 sources lumineuses sont lacées aux extrémités d'1 segment
[AB] de longueure 5 m
La source placées en A possède une puissance de 8 Uet celle placée en
B une puissance de 27 U.
Un point M du segment [AB] recoit un éclairement, proportionnel au carré
de la lampe et inversement proportionnel au cérré de la distance
qui le sépare de la lampe.
on pose AM = x
Comment montrer que l'éclairement du point M est proportionnel à :
f(x) = (8/x²) + (27 / (5-x)²)
il faut ensuite étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle
]0;5[ et en déduire la position du point M pour que son éclairement
soit minimal ?
merci beaucoup de votre aide ............
C'est simple :
A B
M
|-------|--------------|
<------>
x
<------------------->
5
Le point M est à la distance : x de A
Le point M est à la distance (5-x) de B
Il reçoit la somme des éclairement , soit :
f(x) = (8/x²) + (27 / (5-x)²)
2°) On étudie les variations de la fonction, qui est définit et dérivable
sur ]0;5[
f'(x) = -16/x^3 + 54/(5-x)^3
= (-16*(5-x)^3 + 54*x^3)/((5-x)^3*x^3)
= (-16*(125-x^3+15x²-75x) + 54x^3)/((5-x)^3*x^3)
= 10*(7x^3 -24x² +120x -200)/((5-x)^3*x^3)
Il faut donc trouver le signe de :
g : x -> 7x^3 -24x² +120x -200
Cette fonction s' annule pour x = 2
et donc g(x) = (x-2)*(7x²-10x+100)
7x²-10x+100 est un trinôme du second dergé.
Son discriminant vaut : Delta : 10²-4*7*100 <0
Donc 7x²-10x+100 est de signe constant.
Sa valeur en 0 est : 100 donc 7x²-10x+100 > 0
On en déduit que le signe de g(x) est celui de (x-2)
donc :
0 2 5
| - | + |
D'où un minimum pour x =2
salut a tous!
j'ai un petit soucis de compréhension pour cet exo...
quand on dérive (27/(5-x)^2), c'est pas censé faire
(-54/(5-x)^3) ?
Ya juste ce petit truc que je comprends pas, mais sinon c'est Ok je vous remercie aussi comme ca m'est utile
a+!
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