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Fonction convexe
Bonjour et joyeuses fêtes ! 
J'ai une petite question sur cette exercice :
Soit f continue définie sur 
telle que pour tout x et pour tout y, f((x+y)/2) <=(f(x) + f(y))/2. Montrer que f est convexe.
Bon on sait que f convexe 
f en dessous de ses cordes.Ici supposons que f n'est pas convexe alors il existe une corde qui est en dessous du graphe de f mais c'est absurde car à ce moment là l'inégalité n'est plus vérifiée ( avec un schéma on le voit très bien ).
Notre professur nous a proposé une solution beaucoup plus complexe donc je m'interroge sur la validité de la mienne !
Sinon j'ai une deuxième question qui n'a rien à voir : je crois avoir démontrer qu'une fonction convexe qui n'est pas strictement convexe est affine. Est ce juste ?
Merci de votre aide ! 
Bonjour,
Il faudrait que tu nous dises quelle est précisément la définition de "convexe" que tu connais ? (Il en existe plusieurs équivalentes, dont celle proposée par l'énoncé !)
Nous avons vu cette définition : Pour tout b appartenant à [0,1] f(b*x+(1-b)*y)<= b*f(x) +(1-b)*f(y) pour tout x et y.
Piste : construire une suite approchant bx+(1-b)y par divisions par deux successives de [x;y].
Et utiliser la continuité.
Ah ! f convexe f en dessous de ses cordes est simple à justifier à partir de la définition le reste je trouve que c'est clair... (mais c'est peut-être faux !)
Ecoute, tu fais comme tu veux, ce n'est pas moi qui vais passer des concours, c'est toi (pour ma part, c'est fait depuis longtemps).
Si tes enseignants acceptent des démonstrations du genre
Ici supposons que f n'est pas convexe alors il existe une corde qui est en dessous du graphe de f mais c'est absurde car à ce moment là l'inégalité n'est plus vérifiée ( avec un schéma on le voit très bien )
libre à eux. Pour ma part, cela me semble largement insuffisant.
Il faudrait que tu construises un "x" et un "y" aboutissant à une inégalité contredite, et je ne vois rien de tel.
Euh...
En fait je donnais simplement l'idée de ma preuve évidemment que je dois justifier l'équivalence ou ma phrase
"avec un schéma on le voit très bien ".
J'ai cherché sur internet et il semble que ma preuve ressemble à celle-ci :
.
Pour ma deuxième question pouvez vous me répondre ? Merci
Ta deuxième question : imagine la courbe représentative de min(0;x²-1) : elle est convexe, non strictement convexe mais pas affine, non ?
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