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fonction lipschitzienne
Rebonjour,
Je suis cette fois ci sur un autre exo, il faut montrer que x->sqrt(x) n'est pas lipschitzienne.
J'ai fait une ébauche :
Je raisonne par l'absurde :
il existe k>0 tel que pr tout (x,y)E R(+)²,avec x différent de y,
|sqrt(x)-sqrt(y)|/|x-y| < k
j'utilise l'identité :
|x-y|/|x-y|< k*|sqrt(x)+sqrt(y)|
Autrement dit
k*|sqrt(x)+sqrt(y)|> 1
or à cette étape je suis bloquée car je ne peux pas dire que pour x=y=0 c'est absurde
DOnc si quelqu'un pouvait me donner une petite aide ce serait sympa.
Merci d'avance
*** message déplacé ***
Bonjour,
si tel est le cas alors
|f(x)-f(y)|/|x-y| < k
en faisant tendre x vers y, on trouve |f'(y)|<k pour tout y ce qui est manifestement faux.
*** message déplacé ***
Je ne comprends pas pourquoi "f'(y)|<k pour tout y" serait forcément faux, autrement dit comment on est sur qu'il y a au moins une valeur de y montrant que c'est faux..
*** message déplacé ***
Je ne comprends pas pourquoi "f'(y)|<k pour tout y" serait forcément faux, autrement dit comment on est sur qu'il y a au moins une valeur de y montrant que c'est faux..
Bin c'est quand meme évident, que vaut f'(y) ?
Euh non je n'ai pas encore vu la caractérisation de la lipschitziannité par la dérivée, pour l'instant je n'ai vu que la définition de la lipschitziannité et quelques exemples de fonctions montrant si elles sont ou non lipschitiennes.
f'(y)= 1/(2sqrt(y))
donc par là on montre que si k=0 c'est faux, c'est ca ?
Merci ^^
eh bien tu vois dans les qques exemples que l'on a fait et notamment avec celui de la fonction x->x² on a montré que si
x=k et y=1 ca ne marchait pas (cf. on obtenait par l'absurde que pr tt (x,y)E R², |x-y|=<k )
Donc je vois pas pourquoi en disant que si k=0 c'est absurde ne marcherait pas car le fait d'écrire : 1/2sqrt(y)<0 est
absurde,non ?
Merci d'avance ^^
Oups pardon je viens d'y penser, cela serait tout simplement absurde si k<0. En fait je vois pas trop comment je pourrais faire plus fin :s
Oui tout à fait...
Donc si je dis que si y=1/(4*(k+1)²) cela devient absurde car on obtiendrait : k+1<k est ce juste ?
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