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Fonction paires et impaires (pas si simple...)

Posté par
soyuka 29-09-06 à 23:40

En surfant sur internet Alexandra à découvert un énoncé qui peut paraître surprenant :

Citation :
"Toute fonction f définie sur est la somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h"


Vérifier cet énoncé sur les exemples suivants :
f(x)=x3+x2-x
f(x)=(x+1)2
f(x)=x/(x2+1)
f(x)=1/(x+3)

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:44

Bonsoir,

Alors qu'as tu fait ?

Vois-tu quand un polynome est pair et quand il est impair ?

Posté par
mistore : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:46

Bonsoir !

Pour la fonction f donnée on considère g et h définies par:

g(x)=[f(x)+f(-x)]/2   et h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.

On prouve que g est paire et h impaire et que f=g+h.

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:48

Oui paire : f(-x)=f(x)
et impaire : f(-x)= -f(x)

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:52

>misto : on ne demande pas de demontrer (pour l'instant) juste de verifier

>soyuka : Ma question n'etait pas "quand est ce qu'une fonction est paire..." mais "quand est ce qu'un polynome est pair..."

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:53

Par exemple, la fonction polynomiale f(x)=2x^4-x^2+2 est paire. Vois-tu pourquoi ?

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:55

Bonsoir !
Ah je vois ou voulait en venir minkus !!
Merci beaucoup à toi misto je pense que sa va beaucoup m'aider surtout pour le reste de l'exercice !
@++

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 29-09-06 à 23:58

Excuse moi de la confusion minkus,
Le problème est que en cours nous n'avons pas encore vu les "polynomes" et je ne sait pas ce que c'est...
Mais tu as raison sur un point, on demande de vérifier pas de démontrer...

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:02

Bon ce n'est pas grave.

Regarde la fonction que je t'ai donne. Si tu remplaces x par -x que se passe-t-il ?

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:11

Cela donne :
f(-x)=2x4-x2+2
f(-x)=f(x)
Donc on a une fonction paire

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:13

Tres bien.

Et si je mets :

2x4+3x3-x2+2 alors la fonction n'est plus paire. Vois-tu pourquoi ?

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:19

oui car x3 est négatif :
f(-x)=2x4-3x3-x2+2

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:19

mais je ne vois pas ou tu veux en venir ...

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:24

Bon bonne nuit ce sera pour plus tard

Je veux en venir au fait que lorsque tu as une fonction de ce type avec des puissances de "x" he bien on a le resultat suivant :

- s'il y a seulement des puissances PAIRES : x2, x4 etc...alors la fonction est paire.

- s'il y a seulement des puissances IMPAIRES : x3, x5 etc...alors la fonction est impaire.

Donc lorsque tu as un melange des deux tu les separes en 2 fonctions.

Exemple :

f(x)=x^3+x^2-x=(x^3-x)+x^2=h(x)+g(x)

avec h(x)=x^3-x fonction impaire et g(x)=x^2 fonction paire.

Okay ? Essaie avec la 2e en developpant d'abord.

Posté par
soyukare : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:28

Je vais essayer, mais demain là je suis mort... je peux t'envoyer un mail pour que tu vienne sur le forum au cas ou ? Mais je pense que sa ira tes explicatons sont bien claires .
En tout cas merci beaucoup @++

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 00:30

Pas besoin de mail, je serai surement sur le forum dans la soiree.

Je vais essayer de te mettre les reponses dans la nuit comme ca tu pourras venir verifier tes resultats

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : Fonction paires et impaires (pas si simple...) 30-09-06 à 01:41

Bon pour la 2e.

f(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1=(x^2+1) + 2x

Pour la 3e.

\frac{x}{x^2+1} est deja impaire donc c'est regle

Pour la 4e, c'est un peu plus difficile :

\frac{1}{x+3}=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{x}{x^2-9}+\frac{-3}{x^2-9} La premiere est impaire et la seconde paire.

Et voila !


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