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Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)
Bonjour,
J'ai une suite définie par récurrence
Soit f la fonction suivante :
J'ai démontré que la fonction est croissante sur [0;3] et que f([0;3])=[0;3]
On me demande d'en déduire que la suite (Un) est majorée par 3 et qu'elle est croissante.
En fait, j'ai un petit problème pour cette question en ce qui concerne la rédaction.
Comment passe t'on de f(x) à Un ?
Merci 
Skops 
Si,
f est croissante sur [0,3] et continue sur |R. Donc l'image de [0,3] par f est [f(0),f(3)] = [0,3]. L'intervalle [O,3] est un intervalle de stabilité pour f. Et comme ton U0 est dans [O,3] alors (Un) est bien définie par Un+1 = f(Un). Donc pour tout n, tous les Un sont dans cet intervalle et donc Un<3.
Pour la croissance de (Un) tu es obligé de passer par la récurrence, mais c'est immédiat.
Je te laisse l'initialisation.
Tu supposes Un+1 > Un, comme f est croissante alors f(Un+1)>f(Un) soit Un+2>Un+1 donc la propriété est héréditaire.
Donc (Un) est croissante.
Bonjour
Ta suite est croissante et majorée donc convergente. D'après le théorème du point fixe, elle converge vers un point fixe de f. A toi de voir lequel.
(Un) est croissante et majorée par 3 donc elle converge vers une certaine limite l.
f est continue sur [0,3] qui contient tous les Un donc elle contient l (je passe les détails).
Donc f(l)=l
Tu n'as plus qu'à résoudre.
Oui effectivement, la fonction admet deux points fixes, mais l'un ne peut pas être limite. Pourquoi?
-1/3l²+2l=l
<=> -1/3l² = -l
<=> l²=3l
<=> l(l-3)=0
<=> l=0 ou l=3
Oui car en réalité (Un) est bornée.
Oui, ta fonction est croissante donc minorée par son premier terme qui est 1/2. Si ta suite convergeait vers 0, alors tout voisinage de 0 contiendrait les termes de la suite à partir d'un certain rang. Il est clair que l'intervalle ]-1/2;1/2[ est un voisinage de 0 mais ne contient aucun terme de la suite => Contradiction. La suite ne peut converger vers 0.
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