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Fonction, suite définie par Un+1=f(Un)

Posté par
Skops
28-01-07 à 14:00

Bonjour,

J'ai une suite définie par récurrence

3$\{U_0=\frac{1}{2}\\U_{n+1}=-\frac{1}{3}U^2_n+2U_n

Soit f la fonction suivante :

3$f(x)=-\frac{1}{3}x^2+2x

J'ai démontré que la fonction est croissante sur [0;3] et que f([0;3])=[0;3]

On me demande d'en déduire que la suite (Un) est majorée par 3 et qu'elle est croissante.

En fait, j'ai un petit problème pour cette question en ce qui concerne la rédaction.
Comment passe t'on de f(x) à Un ?

Merci

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:12

Bonjour,

Récurrence ?

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:13

Euh, il y a pas une autre solution ?
La récurrence pfff

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:18

Si,

f est croissante sur [0,3] et continue sur |R. Donc l'image de [0,3] par f est [f(0),f(3)] = [0,3]. L'intervalle [O,3] est un intervalle de stabilité pour f. Et comme ton U0 est dans [O,3] alors (Un) est bien définie par Un+1 = f(Un). Donc pour tout n, tous les Un sont dans cet intervalle et donc Un<3.

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:25

En gros, il faut que je dise quoi ?

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:25

Pour la croissance de (Un) tu es obligé de passer par la récurrence, mais c'est immédiat.

Je te laisse l'initialisation.

Tu supposes Un+1 > Un, comme f est croissante alors f(Un+1)>f(Un) soit Un+2>Un+1 donc la propriété est héréditaire.

Donc (Un) est croissante.

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:26

En gros, ce que j'ai marqué.

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:28

On est forcé de passer par la récurrence si on me demande d'en déduire ?

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:29

Oui car la récurrence s'appuie sur le fait que f est croissante.

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:30

D'accord

Pfffff

Skops

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:41

Une dernière chose

Comment trouve t'on la limite d'une suite pareil ?

Skops

Posté par
Nightmare
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:42

Bonjour

Ta suite est croissante et majorée donc convergente. D'après le théorème du point fixe, elle converge vers un point fixe de f. A toi de voir lequel.

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:43

(Un) est croissante et majorée par 3 donc elle converge vers une certaine limite l.

f est continue sur [0,3] qui contient tous les Un donc elle contient l (je passe les détails).

Donc f(l)=l

Tu n'as plus qu'à résoudre.

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:45

Lire : f est continue sur [0,3] qui contient tous les Un et qui contient donc l.

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:51

Je dois résoudre f(l)=l ?

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:52

Oui.

Et tu trouveras l=3 (on s'y attendait un peu)

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:57

Donc je dois résoudre

3$l=l^2+2l ?

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 14:58

Euh non..

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:00

En effet, ca sert à rien.

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:02

Ta fonction c'est f(x)=-1/3x²+2x donc f(l)=l <=> ?

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:10

Ah oui j'ai oublié le -1/3

Mais on a 2 solutions non ?

Skops

Posté par
Nightmare
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:10

Oui effectivement, la fonction admet deux points fixes, mais l'un ne peut pas être limite. Pourquoi?

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:11

-1/3l²+2l=l
<=> -1/3l² = -l
<=> l²=3l
<=> l(l-3)=0
<=> l=0 ou l=3

Oui car en réalité (Un) est bornée.

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:11

J'ai rien dit..

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:12

J'ai pas fait gaffe au U0...

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:13

Car la fonction est croissante ?

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:13

Oui

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:14

Ok merci à vous deux

Skops

Posté par
infophile
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:14

De rien.

Posté par
Nightmare
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:14

Oui, ta fonction est croissante donc minorée par son premier terme qui est 1/2. Si ta suite convergeait vers 0, alors tout voisinage de 0 contiendrait les termes de la suite à partir d'un certain rang. Il est clair que l'intervalle ]-1/2;1/2[ est un voisinage de 0 mais ne contient aucun terme de la suite => Contradiction. La suite ne peut converger vers 0.

Posté par
Skops
re : Fonction, suite définie par Un+1=f(Un) 28-01-07 à 15:15

D'accord

Merci

Skops

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