Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonctions
Bonjour,
On considére l'ensemble des fonctions f,non constantes,devers
,telles que,quels soient x,y élèments de
:
;
1)Calculer .Démontrer que,pour tout x non nul,
.En fonction de
,calculer
et
,où n est un entier relatif.
Démontrer que,pour tout x entier relatif,
2)On suppose en outre que,pour tout x entier naturel non nul,.
Déterminer .On démontrera que la fonction obtenue répond bien à la question.
J'aurais aimé avoir quelques explications car j'arrive pas à démarrer.
Merci
prends x=0 et remplace dans les deux propriétés de f
f(0*0)=f(0)*f(0) et f(0+0)<=f(0)+f(0)
de f(0*0)=f(0)*f(0), tu vas tirer deux valeurs possibles pour f(0) et la condition f(0+0)<=f(0)+f(0) va en rejeter une, d'où f(0)=...
je suis allée un peu vite...
prends y=0 et x non nul, tu vas trouver f(0)
prends y=1 et x quelconque non nul, tu vas trouver f(1)
prends y=0 et x non nul, tu vas trouver f(0) en utilisant le fait que f n'est pas constante (voir énoncé)
alors tu ne peux pas simplifier par f(2) au cas où f(2)=0
donc pour calculer f(0) , prends y=0 et x non nul, tu vas trouver f(0) en utilisant le fait que f n'est pas constante (voir énoncé)
donc pour calculer f(0) , prends y=0 et x non nul, tu vas trouver f(0) en utilisant le fait que f n'est pas constante (voir énoncé)
f(x*0)=f(0)f(x)
f(0)-f(0)f(x)=0
f(0)[1-f(x)]=0
f(0)=0 ou pour tout x non nul f(x)=1
or, f n'est pas constante donc f(0)=0
(lénoncé aurait dû préciser f n'est pas constante sur 
* mais bon...)
pour le calcul de ,je prends x non nul et y=0 donc j'ai:
or est différent de 0 car f n'est pas constante donc :
donc
Calcul de ,je prends x=1 et y=-1:
or
donc
Est ce juste ?
quand tu dis "f(x)est différent de 0 car f n'est pas constante", tu dis en fait, qu'on ne peut pas toujours avoir f(x)=0, il existe au moins une valeur de x telle que f(x)
0
autre explication possible : comme f n'est pas constante, il existe au moins un réel x0 tel que f(x0)0
c'est peut-être plus clair comme celà....
pour le reste, c'est OK pour moi!
je n'arrive pas à démontrer que
Calcul de
pour x non nul et y=-1 on a :
donc
Calcul de
....
....
-------------------------
je ne trouve pas f(-1) mais ton calcil est faux, j'ai laissé passer une erreur!
tu ne peux pas conclure avec ça!
je ne vois pas comment trancher entre 1 et -1 pour f(-1) :
f(-1*-1)=f(-1)f(-1)
f(1)=[f(-1)]² donc [f(-1)]²=1 soit f(-1)=-1 ou f(-1)=1
d'ailleurs , j'ai trouver deux fonctions qui conviennet , dans l'une f(-1)=-1, dans l'autre f(-1)=1
l'énoncé est-il bien complet?
(identité et valeur absolue)
tant pis, continue...
pour x rationnel x=b/a avec a et b entiers, (prenons a et b positifs pour le moment)
f(x)=f(b/a)=f(b)*f(1/a)=f(1/a)=f(a)=1
car f(1/a)=1/f(a) car 1=f(1)=f(a*1/a)=f(a)*f(1/a)
quelque chose me gêne dans ton énoncé!...
il manque un "détail"...
le livre ne donne pas plus d'infos,je vais me coucher,j'ai un DS de maths demain,on reprendra plutart.
bonsoir et merci,
est ce obligatoire de faire le cours sur les équations fonctionnelles pour pour pouvoir cet exercice?
effectivement, c'est un cas particulier mais je ne pense pas que ce cours soit nécessaire...
par contre, je trouve ton énoncé "trop sec" et je crains qu'il ne manque un détail...
en particulier pour démarrer
as-tu posé la question à ton prof pour f(0), f(1) et f(-1) ?
l'énoncé est dans le livre et puis c'est pas le prof qui l'a donné donc je sui obligé de le faire sans lui.
soit f=identité
f(x)=x , f(y)=y, f(xy)=xy=f(x)f(y)
de plus f(x+y)=x+y
f(x)+f(y)
danc la fonction identité convient
f(0)=0, f(1)=1 et f(-1)=-1
soit f= valeur absolue
f(x)=|x| , f(y)=|y|, f(xy)=|xy|=|x|*|y|=f(x)f(y)
de plus f(x+y)=|x+y-|x|+|y| soit f(x+y)<=f(x)+f(y)
la fonction "valeur absolue" convient
f(0)=0, f(1)=1 mais f(-1)=1
à mon avis, avec cet énoncé tel quel, on ne peut pas conclure...
c'est quoi ce sujet, des olympiades? un défi?
d'après ce que j'ai lu à droite et à gauche, les solutions de f(xy)=f(x)f(y) sont les fonctions puissances mais la condition f(x+y)<=f(x)+f(y) réduit le champ d'étude de façon drastique...
Annuler
connectez vous