Bonjour, voici mon exercice :

f est une fonction définie sur un intervalle J et u est une fonction défnie sur un intervalle I et qui prend ses valeurs u(x) dans J.
On note f°u la fonction définie sur I par, pour tout x de I : f°u(x) = f[u(x)].

1) Rappeler les définitions d'une fonction croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I.
2) a. Démontrer que, si u est décroissante sur I et f est croissante sur J alors f°u est décroissante   sur I.
   b. Démontrer que, si u est croissante sur I et f est croissante sur J alors f°u est croissante sur I.
3) Voici le tableau de variation d'une fonction f définie sur [-2;2] :
  
    x     -2              -1               0            1            2
   f(x)    4 decroissante  0 décroissante -1 croissante 0 croissante 3

   a. Soit u la fonction définie sur par u(x)= x².
      Alors la fonction g définie par g(x)= f(x²) = f[u(x)] est la fonction f°u. Elle est définie pour les réels x tel que u(x) [-2;2].
Déterminer l'ensemble de définition de g et ses variations.

   b. De même déterminer l'ensemble de définition et les variations de la fonction h définie h(x) = f(x+1).

Voici ce que j'ai réussi à faire :

1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ,
  * Dire que la fonction f est croissante sur I signifie que : pour tous les réels x1 et x2 appartenant à I, si x1x2,
  alors f(x1) f(x2).

  * Dire que la fonction f est décroissante sur I signifie que :
    pour tous les réels x1 et x2 appartenant à , si x1 x2, alors f(x1) f(x2).

2) a. Soit u une fonction décroissante sur un intervalle I de , et f une fonction croissante sur un intervalle J de , avec, pour tout réels x appartenant à I, u(x) J.

      Soit x1 et x2, deux réels appartenant à I tels que x1 x2.
      u est décroissante sur I donc u(x1) u(x2).
      Or, u(x1) et u(x2) J et f est croissante sur J, donc
f[u(x1)] f[u(x2)].
Ce qui signifie que f°u(x1) f°u(x2).

   b. Soit u une fonction croissante sur un intervalle I de , et f une fonction croissante sur un intervalle J de , avec pour tout réels x appartenant à I, u(x) J.

      Soit x1 et x2, deux réels appartenant à I tels que x1 x2.
u est croissante sur I donc u(x1) u(x2).
Or u(x1) et u(x2) J et f croît sur J donc f[u(x1)]f[u(x2)].
Ce qui signifie f°u( x1 ) f°u ( x2 ).

3) a. On sait que g(x) = f(x²) = f[u(x)] = f°u.
      f°u existe si x D_{[/sub]u et u(x) D[sub]}f.
      C'est à dire si x et si u(x) [-2;2].
Donc -2x²2
      0x²2
      0x 2.
et [0;2] Df donc
Dg = [0;2]

sens de variation :
La fonction u(x) croît sur ]0;+[ et u(x) [-2;2]
f(x) croît sur [0;2] et D[sub][/sub]f°u [0;2]
Donc g(x) croit sur [0;2].

   b.h(x) = f (x+1)

v une fonction telle que v(x) = x+1. Donc h(x) = f[v(x)].
Dv= tableau de variation de v :

x      -               -1             +
v'(x)  +    +    +     +    +    +    +    +    +    +    +   +    +   +
v(x)              croissante             0        croissante

f[v(x)] existe si x Dv et v(x) Df donc
si x et si x+1 [-2;2]

Donc  -2x+12
      -3 x 1
Donc Dg= [-3;1]

Sens de variation
* v(x) croît sur [ -3;0] et v(x) [-2;0]
  et f(x) décroît sur [-2;0]. Donc h décroît sur [-3;0].

* v(x) croît sur [0;1] et v(x) [0;2] et f(x) croît sur [0;2].
  h(x) croît sur [0;1].

d'ou x     -3           0          1
     h(x)  décroissante   croissante.

Voila. Pour la question 2) a. La conclusion que j'obtient ne correspond pas à celle demandée dans l'énoncé. Pouvez-vous me dire quelle érreur j'ai faite ?
Et pouvez-vous me dire si le reste de mes réponses est éxact ?
( Merci d'avance à celui ou celle qui aura le courage de corriger tout ça )