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Géométrie et fonctions polynômes

Posté par
punkiss
03-10-08 à 11:02

Bonjour à tous !

Avant de vous poser mon problème, je vais déjà vous faire part de mon énoncé :
« On considère un point M sur [AB]. Les triangles AMP et BMQ sont équilatéraux. On pose AB=5cm et AM=x


Questions : « 1) Montrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côtés de longueur a s'écrit : (a² 3)/4 »

J'ai déjà fais cette question, j'ai posé la propriété de Pythagore pour avoir la hauteur :
a² = (1/2a)² + h²
h²= a²-1/4a²
h²=3/4a²    h=3/4
J'ai posé la formule : Atriangle = (Base*h)/2 =(a²*(1/2)*trois)/2=…=( a² trois)/2

2)  « Déterminer la position de M pour laquelle l'aire de PQM est maximale. »

Et…c'est là que ça se complique : j'ai juste trouvé des égalités :
AM=AP=PM=x
AB=5
MB=MQ=5-x
Aussi par la propriété de Thalès j'ai démontré que si APM et MQB sont équilatéraux : (AP) et (MQ) sont parallèles, mais je vois pas à quoi conclure…

Merci de me donner des petites astuces

Géométrie et fonctions polynômes

Posté par
padawan
re : Géométrie et fonctions polynômes 03-10-08 à 12:12

Bonjour,
ABC est aussi équilatéral puisqu'il possède deux angles de 60° (en A et en B).
De plus, en utilisant le théorème de Thalès, tu peux montrer que AM = CQ et MB = PC. Donc, finalement, MPQ et PQC sont isométriques, donc ils ont la même aire.
Comme ABC, APM et MBQ sont équilatéraux, la question 1) te permet d'exprimer leurs aires.
Et auras donc à résoudre l'équation:
Aire(ABC) = Aire(AMP) + Aire(MBQ) + 2*Aire(PMQ).
D'où l'expression de l'aire de PMQ en fonction du reste.
Cela te donne une fonction en x qu'il te faut étudier pour en extraire son maximum...

Voilà une démarche possible,
padawan.

Posté par
kenavo27
geométrie 03-10-08 à 12:18

bonjour
Pour la première question
j'ai trouvé h=(3/4)a² soit a(3/4)
Aire du triangle = (B*H)/2
ou
a*a/23/4=a²/2(3/4)=(a²/4)3

Posté par
Th29
re : Géométrie et fonctions polynômes 03-10-08 à 13:41

On peut aussi démontrer que les triangles PQM et PQC sont respectivement rectangles en P et en Q
donc aire de PQM = PM.PQ/2
or PM = x  et PQ2= PC2 - CQ2= (5-x)2 - x2 = 25 - 10x
donc PQ = (25-10x)

donc aire de PQM = x(25-10x) / 2

Posté par
punkiss
re : Géométrie et fonctions polynômes 03-10-08 à 16:46

Merci à tous pour vos réponses, j'ai pris la solution de Padawan, simplement je rencontre un autre problème :
j'ai donc posé : Aire(ABC) = Aire(AMP) + Aire(MBQ) + 2*Aire(PMQ), j'en arrive à :
(5²3)/4 = (x²3)/4 + ((5-x)²3)/4 + 2* (PQ*PM)/2
ce qui me donne : (253)/4-(x²3)4-((5-20x+x²)3)/4 = PQ*x
ensuite je met tout du même coté pour avoir une solution égale à zero :
(253-x²3-53 +20x3 -x²3)/4 -(PQ*x)=0
pour terminer à (-2x²3 +20x3 +203)/4 -PQ*x = 0
Mais je n'arrive pas à terminer sur une fonction polynome, car je suppose que c'est à ça que je dois arriver pour poser : -b/2a pour avoir la valeur maximale (sommet de l'équation)

Posté par
punkiss
re : Géométrie et fonctions polynômes 04-10-08 à 10:21

A non mais en fait j'ai faux
je viens d'essayer par une autre méthode, par celle de Th29 :
déjà je démontre que PCQM est un parallélogramme , donc les triangle PQM et PCQ sont rectangle en P et en Q, je calcule PQ comme Th29 l'a fait,ensuite l'aire de ces triangles : 2(B*h)/2 = x25-10x)
Ensuite je reprends la formule Aire(ABC) = Aire(AMP) + Aire(MBQ) + 2*Aire(PMQ)
donc 0 = Aire(AMP) + Aire(MBQ) + 2*Aire(PMQ) - Aire(ABC)
       = (x²3 +  (5-x)²3  +4x25-10x -253)/4
       =(2x²3  -10x3  -203  +4x25-10x)/4
Mais il y a toujours ce 4x25-10x qui m'empêche d'avoir une équation de degrés deux!

Posté par
punkiss
re : Géométrie et fonctions polynômes 05-10-08 à 14:34

Oh j'avance toujours pas pour cet exercice, j'ai juste vue que ce que j'avais pouvais ce simplifier pas 2, en donnant ainsi x²3-5x3-103+2x25-10x) -2
Svp aidez moi

Posté par
punkiss
re : Géométrie et fonctions polynômes 05-10-08 à 14:38

Euh je me suis trompée dans la formule , c'est (x²3-5x3-103+2x25-10x/2

Posté par
Tin
re : Géométrie et fonctions polynômes 22-11-08 à 13:47

Bonjour à tous!
j'ai moi aussi un problème à soumettre.
f'ai le même sujet mais ma question est:
On cherche à déterminer la position de M pour laquelle l'Aire du triangle MPQ est maximale ainsi que la valeur de cette aire.
Quelqu'un pourrait-il maider??!!
Merci.

Posté par
punkiss
re : Géométrie et fonctions polynômes 23-11-08 à 16:54

Salut Tin !
Alors bin moi je peux t'aider car j'ai eu la même question :
Il faut que M soit au milieu de [AB] Car si tu lis normalement ce que j'avais posté au-dessus on doit avoir à un moment donné :  Aire PQM = (Aire ABC -(Aire APM +Aire MQB))/2
d'où à la fin : (-x²3 +5x3)/ 4 on a ainsi un polynome de degré 2 avec le sommet = -b/2a tu vas trouver si ton calcul est bon :S= 5/2=2.5 soit milieu de [AB]
Voili, si t'as un autre pblm... tu le dis

Posté par
Tin
re : Géométrie et fonctions polynômes 23-11-08 à 18:02

merci Punkiss!!
Avec un peu de recherche,3crises de nerfs et 1 stylo cassé plus tard j'en suis arrivée au mmeme résultat!!!
Au moins maintenant je sais que c'est bon...
Ahh ca va mieux

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