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homothéties : vérification d'une démonstration
Bonsoir à tous j'aimerais que vous vérifiiez cette démonstration(svp)
Voici l'énoncé :
Soit ABCD un parallélogramme. Soit I milieu de [BC] J est le symétrique de I par rapport à C. (AI) coupe (BD) en E, (AJ) coupe (BD) en K et (AJ) coupe (DC) en L.
(pour la figure c'est OK)
Il faut montrer que (EL) // (BC)
Moi je dis que :
(BC) // (AD) car ABCD = parallélogramme
K appartient à (AJ) or comme L appartient à (AJ)==> K appartient à (AL)
de même, comme K appartient aussi à (DB)et que E appartient à (DB)nous dirons que K appartient à (DE)
K = point d'intersection de (AL) et (DE) donc nous avons une homothétie de centre K et de rapport k (k appartient a Z et différent de 1) qui envoie A sur L et D sur E donc (AL) // (DE) car l'homothétie d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Comme (AD) // (BC) et que (AD) // (EL), nous en déduisons que (BC) // (EL)
Note : démontrons que k différent de 1
Pour le démontrer, nous allons raisonner par l'absurde : si k=1 alors; on aurait A=L et D=E or sur le dessin, nous voyons que A et L sont 2 points distincts et il en est de même pour D et E
J'espère que cela tient la route.Je suis ouvert à toute autre démonstration
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonjour
"K point d'intersection de (AL) et (DE) donc nous avons une homothétie de centre K et de rapport k qui envoie A sur L et D sur E"
et pourquoi ?
je fais le même raisonnement avec d'autres points
K est le point d'intersection de (DB) et (AL)
et pourtant il n'existe pas d'homothétie de centre K qui envoie A sur L et D sur B
je le savais (lol) mais comment démontrer une homothétie dans ce cas ou quel(s) axe(s) de démonstration proposes-tu?
voici une démarche, elle me semble correcte ... à vérifier
Thalès dans AED et EBI ou homothétie de centre E et de rapport -2
- 2 vec(EB) = vec(ED) d'où vec(EB) = 1/3 vec(BD)
Thalès dans AKD et KBJ ou homothétie de centre K et de rapport -2
vec(KD) = 1/3 vec(BD)
et donc vec(KD) = vec(BE) on en déduit vec(KE) = - vec(KD)
Thalès dans JLC et JAB ou homothétie de centre J et de rapport 3
vec(JL) = 1/3 vec(JA)
en reprenant Thalès dans AKD et KBJ ou homothétie de centre K et de rapport -2
vec(KA) = 1/3 vec(JA)
et donc vec(KA) = vec(JL) on en déduit vec(KL) = - vec(KA)
on considère l'homothétie de centre K et de rapport -1 pour conclure
bonsoir à vous deux,
Une variante de la méthode de siOK sans homothétie (mais bravo pour son flair)
Triangles semblables AED et BEI 
(EA/EI)=2 AE=(2/3)AI
Triangles semblables ALD et CLJ (LA/LJ)=2 AL=(2/3)AJ
Dans le triangle JAI (AE/AI)=(AL/AJ)=(2/3) d'où d'près Thalès (LE)// ((JI)
bien la méthode mais comme on fait des homothéties...
mais Siok dit des choses qui semblent vrai sur le dessin mais que je n'arrive pas à prouver si on pouvait juste détailler un peu plus..
Thalès dans AKD et KBJ ou homothétie de centre K et de rapport -2
vec(KD) = 1/3 vec(BD)
est ce que siOk ou quelqu'un d'autre peut détailler dans ce cas? puis je ferai le reste(svp)
il déduit que vec(KD) = vec(BE) çà je suis d'accord mais comment il arrive à vec(KE)=-vec(KD)
merci pour vos réponses
1) Soit h l'homothétie de centre E qui transforme B en D
Par une homothétie, l'image d'une droite D est une droite parallèle à la droite D
donc l'image de I est sur la parallèle à (BI) passant par l'image de B
donc l'image de I est sur (AD)
De plus, l'image de I est aussi sur (IE)
ainsi l'image de I est A
Comme vec(AD) = vec(BC) = -2 vec(IB)
le rapport de l'homothétie h est -2
h(B) = D donc vec(ED) = -2 vec(EB)
Utilisons ce résultat
vec(BD) = vec(BE) + vec(ED) = vec(BE) + 2 vec(BE) = 3 vec(BE) et donc vec(BE) = 1/3 vec(BD)
2) En considérant l'homothétie de centre K qui transforme D en B
on montre de même que: vec(KD) = 1/3 vec(BD)
3) En utilisant: vec(BE) = 1/3 vec(BD) = vec(KD)
vec(EK) = vec(EB) + vec(BD) + vec(DK) = -1/3 vec(BD) + vec(BD) - 1/3 vec(BD) = 1/3 vec(BD) = vec(KD)
donc vec(KE) = - vec(KD)
bonsoir,
Puisque tu tiens aux homothéties voici une autre version en trois homothéties
ce sont toujours des vecteurs)
Soit H(E,-2) qui tranforme [IB] en [AD] EA=-2EI soit AE=(2/3)AI
Soit H(L,-2) qui transforme [JC] en [AD] LA=-2LJ soit AL=(2/3)AJ
Alors nous constatons qu'il existe une homothétie de centre A et de rapport (2/3) qui tranforme [IJ] en [EL].
En effet nous avons les deux relations :
AE=(2/3)AI et AL=(2/3)AJ (définition de cette homothétie) Donc (IJ)//(EL) (comme droites homothétiques l'une de l'autre)
effectivement H(A, 2/3) simplifie le raisonnement
... on évite le bidouillage pour vec(KE) = - vec(KD) et l'autre ...
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