Imbattable en maths... si c'est un genre de défis, ou allons
nous. ?Bernouilli ça date pas d'hier ! Cette inégalité, on sait
la démontrer depuis environ... 400 ans !
Il y a plusieurs méthodes :
La première par récurrence (mais certains enseignants en première S
ne traitent pas ce type de démonstration qui , il est vrai, reste
plus accessible à un élève de terminale S).
La deuxième fait intervenir le binôme de Newton, mais en première S
on ne sait pas encore développer (1+x)^n à l'aide des coefficients
binomiaux...
La dernière, qui je pense vous concerne le plus, consiste à considérer
la fonction définie sur les réels positifs par :
f(x)=(1+x)^n-1-nx avec n entier naturel non nul fixé.
On étudie donc les variations de f
f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1]
Or pour tout x>=0, 1+x>=1 et par croissance de la fonction puissance
(n-1) (le cas n=1 est un peu spécial mais cela ne gâche en rien la
démonstration) sur les réels positifs donc plus grands que 1, (1+x)^(n-1)>=1
donc f'(x)>=0 pour tout réel x positif.
La fonction f est donc croissante sur R+ et comme f(0)=0 elle est positive
sur ce même intervalle... et c'est ce qu'il fallait démontrer
!
Voila...une petite pensée pour Bernouilli...