désolé du double post mais j'ai précise que c'est x-(x²/2) et x-(x²/2)+x³ ( j'ai pas trouvé comment éditer ? )

Bonjour,

On ne peut pas éditer sur ce forum ( toujours bien se relire : ) ).
En fait ca va dépendre des outils que tu as.

De maniere élémentaire tu peux poser la fonction f1(x)=ln(1+x)-x+x^2/2 et f2(x)=ln(1+x)-x+x^2/2-x^3.
Une brève étude ( dérivabilité, croissance ) sur [0,+[ te montrera que f10 et f20. D'ou les inégalités.

Si tu connais les théorèmes de Taylor, ca se fait très rapidement aussi.

Sinon tu peux constater que .

Enfin voilà, plein de méthode...

Merci beaucoup j'ai réussi cette question



Cependant je suis bloqué à la suivante :/
Je sais pas si je dois recréé un topic, donc je poste là suite ici :

Je dois trouver un alpha réel négatif tel que pour tout x compris entre ce nombre alpha et 0, on est

x- (x²/2)+x³ ln(1+x) x-(x²/2)

Je fais la même méthode que pour la question précédente mais je n'aboutis à rien...
J'ai regarder sur géogébra et apparemment la bonne valeur serait aux alentours de -0,82, mais j'arrive pas à aboutir à ce résultat ( j'ai au mieux obtenu alpha = -1 )


Merci d'avance !

Pas de soucis, tu peux poster ici.

Bon vu la question 2), il aurait été préférable (gain de temps) de directement introduire les fonctions f1 et f2 dès le début et de les étudier sur ]-1,+[.

Prends donc f1(x)=x-x^2/2-ln(1+x) et f2(x)=ln(1+x)-x+(x^2/2)-x^3.
Elles ont toutes les bonnes propriétés de continuité, dérivabilité sur ]-1,+[.
Dresse le tableau de variation de f1 et f2 sur ]-1,0[. Que constates-tu ?

Bah justement, pour la fonction f1, je trouve que l'inégalité est vérifiée pour tout x compris entre ]-1;0]

Mais c'est pour la fonction f2 que j'ai un problème :S

Pour étudier le signe de la dérivée, je tombe sur un quotient avec le numérateur étant un polynome et le dénominateur x+1

Sauf que ce polynome n'admet pas de solution de R ??? Donc je suis un peu embêté pour trouver mon alpha...

Tu peux me donner la dérivée de f2 ?

-(2x²+3x³)/1+x

Oui c'est bien ca.


Le signe de f2' n'est pas bien compliqué non ?

merci bien, enfait j'ai fait n'importe quoi, j'avais factorisé par x seulement :/

Tu as pu trouver un alpha qui vérifie ton équation ? ( Il y en a tout un paquet ! )

bah ça va pas si y en a un paquet alors  ?!

Pourquoi ca ?
Avec les tableaux de variation tu as obtenu quoi ? Tu as réussi à trouver un segment inclus dans ]-1,0] qui vérifie f1 et f2 positive ?

bah parceque la question c'est trouver le alpha pour que, pour tout x appartenant à [alpha,0] on est l'inégalité que j'ai précedement énoncé.

Moi je lis trouver UN alpha qui vérifie tout ca.

bah l'intitulé exact est : Déterminer alpha R^- tel que pour tout x [,1] on est l'inégalité


Désolé d'avoir mal recopié ici

alpha<0 tq pour tout x dans [alpha,0] plutot non ?

euh oui, c'est ça

Dans ce cas, je maintiens qu'il n'y en a pas qu'un seul.
Avec les tableaux de variation tu as obtenu quoi ?

arf j'avais commencé pour f1 = ln(1+x)-x+(x²/2), ça dérange pas ? :/

Non rien n'est dérangeant !
Disons que "l'avantage" de poser f1 et f2 comme je l'ai fait qu'on cherche f1 et f2 positive alors que toi tu vas chercher f1 négative et f2 positive sur un même segment inclus dans ]-1,0].

je trouve que l'inégalité est vrai pour x compris entre 0 et -2/3 ?

Je suis d'accord !
Donc tu vois bien qu'on peut prendre alpha='n'importe quoi dans [-2/3,0]'.

Par contre, si ton énoncé veut une unique valeur alpha qui vérifie :
(1) - Pour x dans [alpha,0], on a l'inégalité
(2) - Si [beta,0] vérifie aussi (1), alors [beta,0][alpha,0] ( en quelque sorte il s'agit de la détermination d'un intervale maximal )
alors ton tableau de variation te la fournit.

nan mais enfait c'est faux ! là on a le de h2 (2/3 ) , moi je veux quand h2 = 0 enfait !  

Donc je dois résoudre 0 = ln(1 + x) - x + x² / 2 - x³ !


Mais c'est chaud ça :/

on a le sommet de la courbe ( h2 ) qui est pour x = 2/3, ça va mieux comme ça

enfin f2*

*fatigué*

J'avoue ne pas trop savoir comment prendre ton énoncé.
On est d'accord que s'il s'agit de trouver un alpha négatif qui vérifie l'inéquation, on a fini ?
En revanche si tu veux le alpha maximal, il faut effectivement résoudre l'équation que tu as écrite. Comme je te le disais, tu ne pourras certainement pas exprimer de maniere simple la solution.
Bon ben par contre, cette solution existe et est unique (pourquoi ? ). Ça suffit pour conclure non ?

nan moi il me faut la valeur de cet alpha justement, je peux dire que c'est unique et qu'elle existe avec le Théoreme des valeurs intermédiaires

Mais là je pense qu'il faut déterminer la valeur maximale de alpha.

( parceque si je met que c'est compris entre -2/3 et 0, il en manque non ? ) Graphiquement je lit que cette valeur avoisine les -0,82 mais pour obtenir ça je sais pas comment faire...

S'il te faut cette valeur, alors t'es plutôt mal barré.
Comme je te l'ai dit, résoudre explicitement une équation c'est pas donné !

Ici, il serait plus commode d'appeler alpha l'unique solution de 0 = ln(1 + x) - x + x² / 2 - x³.
Alors alpha est maximal ( à justifier toujours avec le TVI ) et pour tout x dans [alpha,0] l'inéquation est vérifiée !

bah oui mais moi on me dit, si je reformule l'énoncé pour tout x appartient à [alpha,0] on a l'inégalité

Trouvez Alpha.


donc voilà :/

Alors on est foutu !
Exprimer une telle solution à l'équation f2(x)=0 ou x<0 avec des fonctions usuelles, sommes, produits etc... n'est pas faisable.

Si on pose alpha = l'unique solution de "f2(x)=0", alors alpha est entièrement déterminer !
Non ?

bah nan je pense pas, enfin par défaut c'est ce que je vais mettre sur ma copie mais bon :/

Merci de ton aide

C'est vraiment pas choquant de parler d'un nombre qui est parfaitement déterminé alors qu'on ne peut l'écrire explicitement.

Je pense que tu ne trouveras pas de bonnes écritures à la solution f2(x)=0, même mon ami Maple n'en sait rien. Mais si jamais tu en trouves une, je serais vraiment heureux de la connaitre !

Une chose doit être sure en tout cas : la solution de f2(x)=0 est la réponse à ton problème.