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Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a

Posté par
Strelya 23-02-16 à 19:32

Bonsoir, voici mon exercice qui me donne beaucoup de mal :

Soit f une fonction impaire, montrer a l'aide d'un changement de variable : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a.
(-a en bas, a en haut)

J'ai commencé avec la relation de Chasles qui me donne :
Intégrale F(x)dx entre -a et a = Intégrale F(x)dx entre -a et 0 + Intégrale F(x)dx entre 0 et a.

Je pose après -x= X, pour avoir Intégrale F(-X)(-dX) entre a et 0 + Intégrale F(X)dX entre 0 et a
Je ne sais pas si c'est bon...

J'ai développé mais je ne trouve rien de bien concluant, et pareil pour d'autres méthodes... Je n'arrive pas a trouver un bon changement de variable... En espérant avoir votre aide, merci d'avance

Posté par
mdr_nonre : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a 23-02-16 à 19:40

bonsoir : )


Si c'est fini.


Soit f une fonction impaire définie et continue sur [-a , a] avec a positif strictement.

\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x = \int_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x

Or, \forall x \in [-a , a], f(x) = -f(-x) d'où \int_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x = -\int_{-a}^{0}f(-x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x.

Effectuons le changement de variable X = -x, nous avons \left\{\begin{matrix}x = -a \Rightarrow X = a \\ x = 0 \Rightarrow X = 0 \\ \mathrm{d}X = -\mathrm{d}x\end{matrix}\right..

D'où -\int_{-a}^{0}f(-x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^0f(X)\mathrm{d}X + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^0f(x)\mathrm{d}x + \int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x = 0

Posté par
mdr_nonre : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a 23-02-16 à 19:43

Tu as oublié d'utilisé que F(-X) = -F(X).

Posté par
Strelyare : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a 23-02-16 à 21:37

Effectivement j'avais zappé ca... Merci de ta réponse, c'est parfais

Posté par
mdr_nonre : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a 23-02-16 à 21:45

de rien : ) bonne continuation : )

Posté par
luzakre : Intégrale F(x)dx=0 entre -a et a 23-02-16 à 22:38

Bonsoir !
Il est inutile d'utiliser la relation de Chasles .
Par changement de variables t=-u on a \int_{-a}^af(t)\mathrm{d}t=\int_{a}^{-a}f(-u))\mathrm{d}(-u)=\int_{a}^{-a}f(u)\mathrm{d}u


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