Bonsoir à tous!
voici quelques énigmes sur les suites que j'aime bien et que je vous propose (en espèrant qu'elles ne soient pas déjà présente sur le site... j'ai vérifié mais bon... )
Premier :
Soit g une fonction de l'intervalle [0,1] dans , de classe , tels que .
On pose
Que dire de la suite ?
Salut tealc
je trouve donc
lyonnais >
Bon voici la solution (raccourci tout de même)
l'idée comme signalée par kaiser et lyonnais et d'utiliser le fait que est de classe pour faire une double intégrations par partie, en dérivant puis , et en intégrant puis .
On obtiens, en utilisant le résultat de lyonnais :
Ensuite, est continue sur le compact donc bornée : pour tout t dans [0,1].
D'où
et on déduit :
sauf erreur
Ok tealc merci
Juste une question. Est-ce que l'on pouvait aussi dire :
g" est continue sur le segment [0,1], donc il existe m et M tq :
pout tout t dans [0,1] , m g(t) M
??
On a aussi vu la définition que tu as donnée (avec le compact), mais je voudrais savoir si c'est correct de mettre ce que j'ai mis ... (même s'il n'y a pas une grande différence)
Merci
Oui lyonnais cet methode marchait aussi et on utilise ensuite le théorème des gendarmes...
Deuxième :
Soit f une application continue sur .
On suppose que pour tout n :
Prouver que f est identiquement nulle.
Salut tealc
J'ai essayé, mais je ne dois pas connaître la méthode à utiliser ...
Voici ce que j'ai essayé
Je me demandais si une démonstration alternative via les transformées de Fourier n'était pas possible.
Je me demdandais également si on ne pouvait pas changer l'hypothèse continue en mesurable, et avoir la conclusion presque partout (via le théorème de Lusin peut être)
Solution : l'idée est donc d'utiliser le théorème de Stone - Weierstrass : f est continue sur un compact, donc limite uniforme de polynome, suite que l'on note .
Constatons que la condition donnée sur les intégrales est équivalente à
pour tout polynôme.
On déduit donc .
Constatons que, puisque l'on intégre sur un segment et que les fonctions sont continues, on peut passer à la limite et on obtient :
La fonction est donc continue et d'intégrale nulle sur : elle est donc identiquement nulle et on déduit .
Quelques questions :
otto > j'ai un problème pour généraliser aux fonctions mesurables, car ici ca marche puisque on approche par des polynomes. Avec le théorème de lusin, on aura une suite de fonction continues qui tend presque partout vers f, mais comment prouver que pour tout n? si tu as une idée...
otto > (encore!) comme conclu tu si on suppose le resultat pour ?
je posterai un autre exo un peu plus tard...
Bonjour
tealc>
Si l'on se restreint à n>0, l'énoncé indique que l'on a pour tout polynôme P s'annulant en 0.
Ensuite, on peut montrer que toute fonction f continue sur [0,1] peut être approchée uniformément par une suite de polynôme s'annulant en 0 (il suffit pour cela de considérer une suite convergeant uniformément vers f et de prendre la suite définie par ).
On a donc pour toute fonction g continue sur [0,1] et s'annulant en 0 .
En particulier, on a et on conclut.
Kaiser
Je t'en prie
Je voudrais signaler un oubli de ma part
Ensuite, on peut montrer que toute fonction f continue sur [0,1] et s'annulant en 0...
Kaiser
Bon apparemment, personne n'a vu ma nouvelle JFF... donc je reposte :
Troisième :
Soit : vérifiant :
pour tout n,
QUe dire de la suite u?
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :