Bonjour à tous,
Pour réchauffer vos neurones en cette froide journée d'hiver, je vous propose de faire un peu de géométrie.
Prenons un cercle de centre O dans lequel on dessine un triangle isocèle OIJ rectangle en O comme sur la figure ci-dessous.
On fait ensuite pivoter le triangle OIJ dans le sens horaire d'un angle x compris entre 0 et 90°, ce qui engendre le triangle ABC (colorié en vert).
Question : Pour quel angle de rotation le triangle ABC aura-t-il une surface maximale ?
Donnez l'angle en degrés, arrondi au centième le plus proche.
Bonjour,
vite fait mal fait, je propose un angle de 30° (pour un rapport d'aire avoisinant 1/10 (approximativement 0,0980762114).
Merci pour l'enigmo que je concède avoir bâclé !
Bonjour godefroy,
je trouve que le triangle ABC aura une aire maximale (qui est environ égale à 1,23) pour un angle de rotation d'environ 30,00°.
Merci pour cette énigme
Bon, maintenant je vais faire la démonstration.
Déjà il faut déterminer l'aire de ABC en fonction de l'angle x. Ce n'est vraiment pas évident du tout mais bon c'est faisable. Alors il faut d'abord choisir une configuration. C'est nécessaire sinon on aura plusieurs variables dans l'expression finale. Mais de toutes façons l'angle maximale sera pareil pour toutes les configurations.
Donc moi je vais considérer que le rayon du cercle est de 1 (on va pas se compliquer la vie). Ce qui veut dire que IO=AO=JO=1. Je trace ainsi une figure en bas du message.
Commençons par calculer les angles de ABC.
Je défini D comme étant l'intersection entre la perpendiculaire de [AO] passant par O et le cercle. On sait que OAD est un triangle rectangle isocèle : les deux angles à la base font 45°. C'est la même chose pour OIJ. Donc .
Dans IBO,
Comme [IC] et [OA] sont sécants en un point B, alors
Donc dans le triangle ABC,
Maintenant que nous tenons tous les angles de ABC, intéressons-nous aux longueurs de celui-ci. Calculons AB pour commencer :
À présent posons OIE le triangle rectangle en E (tel que E[IJ]).
Dans le triangle OBE :
Et comme AO=1 :
Posons BF la hauteur du triangle ABC issue de B.
Dans le triangle FBA :
Ensuite
Donc FBA est un triangle isocèle rectangle,
Je commence à craquer là, mais hors de question que j'arrête si près du but ! Donc avec la trigo :
On connait la hauteur, on connait la base, on peut calculer l'aire :
Je continuerai demain... J'suis complètement HS là
Re-bonjour.
RECTIFICATION suite à une erreur d'encodage d'une colonne dans mon tableau Excel.
x = 30,00 degrés
Le triangle ABC aura une surface maximale pour un angle de 30 degrés.
Pour le prouver, on calcule l'aire du triangle ABC en fonction de x.
On trouve
La dérivée s'annule en ce qui correspond à un maximum de .
Bon, et donc pour finir, j'ai tapé tout ce joyeux bazar sur la calculatrice puis j'ai tout simplement déterminé l'aire maximale grâce à un tableur. Puis j'ai regardé l'angle correspondant : 30,00°. Voilà voilà
Bonsoir,
Bon allez, je tente... sans être sûr du résultat....
Je pense que l'aire ABC est au max pour x=45°
Bonne semaine !!
En considerant le repere orthonormee (O,J,I), on ecrit les equations des droites (IJ), (AD) et (OA), puis on determine les coordonnees des points B et C et du projete orthogonal H du point A sur (BC). on calcule alors la surface que l'on derive pour avoir les extremums
On trouve enfin de compte que l'angle x vaut environ 30,00 degres
Bonjour
Je pense que la surface maximale pour le triangle ABC s'obtient pour une rotation de 30° exactement.
Sauf erreur de calcul, oeuf corse.
A bientôt
Trigonométrie et esthétisme
En faisant cette énigme ,je suis resté sur une
mauvaise impression de trouver des angles quelconques
alors qu'il devrait y avoir une certaine symétrie.
En vérifiant une seconde fois ,je me suis apperçu qu'en
interpolant,javais recopié une formule en inversant
deux angles...
Aussi pour l'honneur je suis satisfait d'avoir cette
fois x = 30 °00 ,ce qui est beaucoup plus exthétique
Réponse proposée par un groupe d'élèves du LP ANDRE CITROEN - MARLY
Merci Géogebra
l'angle est de 30°
Je dirais aucun vu que le triangle est isocèle rectangle et que le cercle est concentrique, que l'on pivote le trianlge de 1° ou de 90° ça change rien.
Bonsoir godefroy_lehardi,
Le triangle ABC aura une surface maximale avec un angle de rotation de34,21°.
Merci pour cette joute géométrique.
Bonjour Godefroy.
L'aire du triangle ABC est maximum quand l'angle de rotation IOA mesure 29,27 degrés.
Soit H le pied de la hauteur du triangle fixe. L'unité de longueur sera cette hauteur.
Soit d la distance IB
Les triangles OIB et CAB sont semblables et leur rapport de similitude est BI/BA.
OB² = OH²+BH² = 1+(1-d)² ou 1+(d-1)² = d²-2d+2
BA = OA-OB = √2-√(d²-2d+2)
aire du triangle OIB : d/2
aire du triangle CAB : d/2 * (√2-√(d²-2d+2))² / d² = (d²-2d+4-√(8d²-16d+16)) / 2d
Cette aire est maximum pour une valeur de d comprise entre 0,732 et 0,7321.
L'angle de rotation est 45 degrés moins l'angle dont la tangente est 1 moins cette valeur de d.
Clôture de l'énigme :
Pas de grandes difficultés cette fois-ci.
J'ai été moi-même surpris que ça tombe sur une valeur remarquable.
Comme l'a fait remarquer dpi , l'esthétique n'est jamais très loin de la vérité.
Juste pour le fun, et parce que j'aurai bien aimé faire cette énigme quand elle est sortie, je propose une démonstration possible de ce résultat.
Pour les notations, je me suis appuyé sur ce que d'autres ont fait, juste j'ai remarqué la symétrie par rapport à l'axe (OC) et j'ai noté y la valeur des angles JOC et COB.
On obtient assez rapidement donc et
Pour les aires, AireOCJ + AireOCI = 1/2 d'où donc qui donne
De même, AireOBJ + AireOBI = 1/2 d'où donc qui donne
Grâce à la symétrie on donne l'aire cherchée par la formule :
AireABC = AireOCJ - AireOBC
AireABC =
AireABC =
AireABC =
AireABC =
On trouve y = 30° pour maximiser cette fonction. Donc x = 30° aussi.
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