Bonjour à tous,
Imaginons un jeu utilisant des plaquettes, semblables à des dominos, mais avec des points sur les deux faces.
Chaque plaquette possède donc 4 zones (2 par face) comportant chacune entre 1 et 6 points (il n'y a pas de zone vierge). Il peut y avoir le même nombre de points sur plusieurs zones.
Les points sont dessinés de la façon suivante :
En tout, cela devrait donner 64 = 1296 plaquettes différentes.
Mais, en regardant bien, on s'aperçoit que certaines plaquettes sont exactement semblables, en les faisant tourner sur elles-mêmes (en opérant des rotations suivant les 3 axes de symétrie).
Par exemple, on peut fabriquer 4 plaquettes 1-1-1-2 mais on se rend vite compte qu'on ne peut pas les différencier.
Question : Combien ce jeu comporte-t-il de plaquettes véritablement différentes ?
Bonjour,
En espérant ne pas avoir fait de bêtise :
351
plaquettes différentes.
Merci pour l'énigme,
Tof
Bonjour,
Cela me fait penser aux nombres miroirs
(à deux faces....)
Je trouve 231 dominos sur les 1296
Bonjour Godefroy.
Il y a 351 (trois cent cinquante et une) plaquettes différentes.
On remarque tout d'abord que chaque chiffre garde la même orientation quand le domino est tourné de 180 degrés.
Les plaques se répartissent comme suit :
carré : 6
brelan : 6*5 = 30
deux paires : 6*5/2 * 3 = 45 (deux chiffres identiques peuvent être accolés, opposés ou ni l'un ni l'autre )
une paire : 6*5*4/2 * 3 = 180(les deux chiffres identiques peuvent être accolés, opposés ou ni l'un ni l'autre)
quatre chiffres différents : 6*5*4*3/24 * 6 (trois choix pour le chiffre accolé au plus grand et pour chacun, deux choix pour le chiffre opposé au plus grand).
351
soit 360/4 dominos avec 4 chiffres différents, 720/4 avec une paire (un doublé), 90/2 avec 2 paires, 120/4 avec un triplé, et 6 quadruplé
351 =90+180+45+30+6
Merci pour cet énigme
Bien le bonjour,
On remarque en fait que toutes les permutations sont possibles. EX :
La plaquette 1.2.3.4 sera identique à 3.4.1.2, à 4.3.2.1 et à 2.1.4.3.
Il y a donc 64/4 plaquettes différentes, soit 324
Bonjour,
Il y a 351 dominos différents.
Merci pour la joute !
Pas si évidente que ça. Merci Sœur Silice.
Bonjour,
a l'aide d'un tableur, et étant donné qu'il n'y a pas de problèmes de rotation, je trouve 351 plaquettes différentes
Salut! Ma reponse est: 351 plaquettes differentes!
Je voudrais savoir si le probleme vient du site ou de ma machine. Il est mentionne* que cette joute a ete postee... le 24/03. Pourtant, je me suis connecte* pas mal de fois (avant et apres le 24), et je n'ai vu ni ladite joute, ni l'annonce d'une joute pour le 24. Pareil pour l'enigmo qui est juste a cote*! Pour une fois que j'etais capable de traiter les deux en moins d'une heure (encore faut il, certes, que je les ai smileys)...Maintenant encore, je n'arrive pas a voir l'annonce de la prochaine enigme (on me parle du 26/03, comme si je savais voyager dans le temps...). Encore heureux que la joute ne soit pas cloture*e, je me dis ca en consolation. Merci!
Bonjour,
Il y a sauf erreur 351 plaquettes vraiment différentes.
Calcul :
[aaaa] Valeurs: 6, Positions: 1, distinctes: 1, soit: 6/6
[aaab] Valeurs: 30, Positions: 4, distinctes: 1, soit: 30/120
[aabb] Valeurs: 15, Positions: 6, distinctes: 3, soit: 45/90
[aabc] Valeurs: 60, Positions: 12, distinctes: 3, soit: 180/720
[abcd] Valeurs: 15, Positions: 24, distinctes: 6, soit: 90/360
Et donc : (90+180+45+30+6)/(360+720+90+120+6) = 351/1296
391 plaquettes distinctes, sur 1296 pièces.
Merci pour cette récréation ...
Je pense qu'il y a 351 plaquettes réellement différentes.
Je crois qu'il faut utiliser le Lemme de Burnside en utilisant les demi-tours autour des 3 axes orthogonaux de l'espace.
On y ajoute l'identité pour obtenir un groupe et ensuite on compte les dominos inchangés pour chacune de ses opérations.
Id -> 1296
Rx -> 36
Ry -> 36
Rz -> 36
La moyenne vaut (1296 + 36 + 36 + 36)/4 = 351
reponse: il y a 1116 plaquettes differentes
= (nb plaquettes possibles) - (nb de plaquettes non uniques)
les plaquettes peuvent être decrites avec la notation: a-b-c-d où a;b;c;d sont des entiers de [1;6]
nb de plaquettes possibles =6^4 = 1296
plaquettes avec des representations equivalentes:
1) les plaquettes à 3 chiffres identiques: a-a-a-b ; a-a-b-a; a-b-a-a; b-a-a-a
ces 4 configurations {C(1;4)} sont equivalentes; 3 configs sont donc a retirer des plaquettes possibles
il y a 6x5 = 30 possibilités de choisir a et b
=> 30x3=90 plaquettes a retirer
2) plaquettes a 2x2 chiffres identiques : a-a-b-b & b-b-a-a; a-b-a-b & b-a-b-a; a-b-b-a & b-a-a-b
ces 6 configurations {C(2;4} sont equivalentes 2 à 2 ; 3 configs sont donc a retirer des plaquettes possibles
il y a 6x5 = 30 possibilités de choisir a et b
=> 30x3=90 plaquettes a retirer
3) toutes les autres plaquettes sont uniques
=> 1296-90-90= 1116 !!
Clôture de l'énigme :
Une méthode remarquable pour ce genre de dénombrement utilise le lemme de Burnside.
Si, au lieu de 6, il y avait eu k points (répartis de façon adéquate), on aurait eu plaquettes différentes.
Bonjour Godefroy,
Il y avait en effet une erreur dans mon programme:
la limite supérieur de recherche (1297 et non 1296) dans une recherche dichotomique.
Désolé.(de ne pas connaître le "Lemme de Burnside")
bonjour RickyDadj
Avez-vous vérifié les options de mise à jour des pages internet de votre navigateur ?
Êtes-vous en mode hors connexion ?
Que se passe t-il si vous forcé la mise à jour (avec F5 ou clic droit "actualiser" avec firefox par exemple) ?
Il n'y a pas d'adresse mail dans votre profil ... Quand pourrez-vous lire ma réponse ?
Je viens de la lire, Chatof.
Je pense pouvoir repondre "non" a vos deux premieres questions, et "je ne sais pas" a la troisieme. Rien d'etonnant a celle-ci, parce que j'ai toujours pense* que l'absence de nouvelle date voulait dire qu'il n'y a pas encore de nouvelle enigme prevue. Par contre, je vous le concede, je devrais verifier mes options de mise a* jour... Merci de m'avoir fait y penser. Et surtout, merci de m'avoir accorde* une si courtoise attention! Les matheux de l'ile sont donc... des gentlemaths!
J'ai bon espoir que ce probleme n'en sera bientot plus un; et, en cas de persistance, je reviendrai vous consulter.
Bonjour RickyDadj
Nouvelle énigme ce matin 10h21:
Joute n°72 : Panne sèche en Antarctique
J'ai essaye* de vous repondre hier, mais je n'ai pas pu. En tout cas, je disais:
Oh! Comme c'est gentil de votre part!
Voila qui confirme bien votre statut de gentlemath! Mais je n'en serais pas un si je ne vous demandais pas de ne pas vous inquieter pour ce probleme qui semble en voie de disparition. En effet, j'ai verifie* mes parametres de connexion et les options de mon navigateur, et j'ai repere* un truc louche (que j'ai deja arrange*). J'ai bon espoir qu'il etait la cause de tout.
Pour ce qui est de la joute 72, j'ai eu la chance de me connecter juste avant (ou juste apres?) qu'elle ne soit postee, et je l'ai vu dans les temps!
Maintenant, rendez-vous sur le champ de bataille pour la prochaine enigme... et merci!
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