Bonjour à tous,
Le 11 novembre 1918, après avoir bien arrosé l'armistice, les deux artilleurs Anatole et Barnabé se sont lancés un défi.
Chacun se saisit d'un canon. Anatole tire un obus et Barnabé, en tirant 1 seconde après lui, doit intercepter cet obus à son apogée (c'est-à-dire à son point le plus haut).
On négligera bien sûr l'action de l'atmosphère (frottement de l'air, vent, etc…) sur les obus et on prendra la constante de gravitation g=9,8 m/s².
Les deux canons tirent dans le même plan vertical avec une vitesse initiale de 200 m/s. Le premier tir se fait obligatoirement avec un angle de visée de 45° par rapport à l'horizontale.
Question : à quelle distance devant ou derrière Anatole doit se placer Barnabé et quel doit être son angle de visée pour remporter le défi ?
La distance sera donnée au centimètre près (positive devant, négative derrière) et l'angle au centième de degré près.
Si vous pensez qu'il ne peut pas y arriver, répondez « problème impossible ».
Barnabé devra se mettre devant Anatole à +146,33 m (arrondi au cm le plus proche) et tirer avec un angle de 45,15 degré (au centième de degré le plus proche).
Bonjour,
Je propose la réponse suivante :
Distance : 146,33 m
Angle : 45,15 °
Merci pour cette énigme bien en l'honneur des poilus du 11 novembre ...
bonjour,
je dirais qu'il doit tirer à +146,33 mètres (devant Anatole) avec un angle de 45,148° par rapport à l'horizontale.
MM
Bonjour Godefroy,
Solution : le deuxième canon doit se positionner 982.19 mètres devant le premier canon, et tirer avec un angle de 45 degrés.
Un peu de mécanique (du point) :
système1 : l'obus 1
système2 : l'obus 2
réferentiel : galiléen
bilan : chute libre
On prend l'origine des temps au premier tir, l'origine du repère au premier cannon, on repère le second par l'abscisse xc (on suppose que le sol est plat)
On trouve alors les équations horaires pour le premier obus :
x1=(vo cos(45°))*t
y1=-1/2gt²+(vo sin(45°))*t
On note t1 le moment où le deuxième tir :
x2=(vo cos(a))(t-t1)+xc
y2=-1/2g(t-t1)²+(vo sin(a))(t-t1)
1) Déterminer t2, le moment où l'obus un passe à son apogé, c'est à dire le moment où sa vitesse verticale s'annule :
vy1=-gt+vo sin(45°) => t2=vo/g*sqrt(2)
Il faut donc vérifier t1<t2 sans quoi le problème est impossible
AN : t1=1s ; vo=200m/s ; t2=14.4 secondes, donc c'est bon !
2) L'apogé de l'obus 1 est donc : y1(t2)=1/2 vo²/g et x1(t2)=vo²/2g AN : (2040,1020) mètres environ
Il faut maintenant que le deuxième obus se trouve en ce point au même instant :
y2(t2)=y1(t2)
x2(t2)=x1(t2)
La première équation donne : sin(a)=(une longue formule car je garde toutes les lettres) -> AN : sin(a)= 0.7089
Soit environ a=45.14 degrés
Dans la deuxième équation : xc=982.194870 mètres
Un peu de réflexion : à vitesse initiale constante, on sait que la plus grande flèche est atteinte pour un angle avec l'horizontale de 45 degré. Comme les deux canons tirs à mêmes vitesse initiale, et que le premier tir avec un angle de 45 degré, nécessairement l'autre pour avoir une flèche supérieure ou égale doit tirer à 45 degré, et la flèche sera alors la même (et pour cause elle est maximale). Donc ensuite il n'y a plus qu'à trouver la distance qui permettra de rattraper la seconde de retard du second canon. Les équations correspondent donc à l'intuition.
Bonjour Godefroy.
Barnabé doit se placer à 146.33 mètres devant Anatole et régler son angle de tir à 45.15 degrés par rapport à l'horizontale.
(A) = vitesse horizontale et vitesse verticale initiale du premier tir : 100*2 = 141.4213562
(B) = temps mis par le premier tir pour arriver à son apogée : (A)/9.8 = 14.43075064
(C) = distance horizontale de l'apogée : (A)*(B) = 2040,816327
(D) = hauteur de l'apogée (C)/2 = 1020,408163, puisque la vitesse verticale moyenne est la moitié de la vitesse horizontale constante
(E) = temps du deuxième tir : B-1 = 13,43075064
(F) = vitesse verticale initiale du deuxième tir : (D)/(E) + 4.9*(E)= 141,7861906
; (à partir de la formule : distance = temps * (vitesse initiale plus moitié du produit de l'accélération par le temps))
(G) = angle du deuxième tir : arcsin (F)/200 = 0,787981271 radians
(H) = vitesse horizontale du deuxième tir : 200*cos(G) = 141,0555782
(I) = distance horizontale du deuxième tir : (H)*(E) = 1894,482297
(J) = distance entre les deux canons : (C)-(I) = 146,3340298
Il doit se positionner à 146,33 m devant et tirer à un azimut de 45,15° (ou dans la position symétrique par rapport à la verticale passant par l'apogée càd : 3935,30 m et 134,85°)
Bonjour Godefroy, et merci,
Je propose : distance a = 146,33 m et angle = 45,15°
(sans oublier la solution "symétrique" : distance a = 3935,30 m et angle = 134,85°)
Bonsoir godefroy_lehardi
Je n'ai pas eu le temps de m'y plonger plus tôt car je n'avais pas vu ton énigme, cherchant une énigme de Jamo
Ton énigme m'a permis de me replonger sur les trajectoires paraboliques étudiées en physique il y a quelques années déjà !
Je dirais donc que la mission est possible avec un angle de tir de 45,15° au centième par excès et une distance plus avant du premier tir de 146,33 m au centième près par défaut
Alors ? un ou un ? Sans certitude !
Bonsoir,
personnellement, j'ai trouvé les réponses suivantes:
Barnabé se trouve en arrière de -176,58 m ( par calcul -176,5781609)
avec un angle de tir de 42°,95 ( par calcul 42°,94621462)
Amitiés, bien à vous
Bonjour Godefroy,
Ce fut très facile de trouver les réponses,
deux petits coups de canon dans mon camp militaire (de Caylus)
pour obtenir:
La distance au centimètre près (positive devant, négative derrière) : +141,42 m ( 100 V2)
et l'angle au centième de degré près : 45,15° par excès.
Merci pour la joute.
Bonjour
Un tir avec un canon et un boulet identique situé à + 200 m avecun angle de 57 °789 devrait convenir
Oops poisson pour moi, 45 degrés c'est pas la flèche maximale, c'est la portée maximale ! Du coup l'angle ne peut sûrement pas être de 45 degrés (et pas non plus 45.1), j'ai du me tromper dans l'arcsin
Bonjour,
Ma réponse :
Le second canon devra se placer à +146,33 m (donc devant)
Son angle de tir devra être de 45.15°
A ce moment, à t = 14.43 secondes après le premier tir, à x=2040.82 m du premier canon et à une hauteur de 1020.41 m,
les deux boulets entreront en collision.
Merci pour cette énigme !
Bonjour,
J'ai trouvé :
angle du canon B = 44,87 °
distance de A à B = 136,85 m
Si je me suis trompé, ne lisez pas la suite de mon message
Sinon, certains seront peut-être intéressés par le détail des calculs...
alors :
En appliquant l'équation classique de cinématique :
aux deux obus (A et B) et en séparant les composantes
- horizontales (x, positif vers où A tire)
- et verticales (y, positif vers le haut)
nous obtenons le jeu d'équations :
où :
: t est le temps commun (t=0 quand B tire)
: (remarquez que A tire 1 seconde avant B grace aux "t+1")
: g est la constante de gravitation (9,8 m/s²)
: d est la distance entre les canons A et B (à trouver)
: vxA, vyA, vxB et vyB sont les composantes des vitesses initiales
Plus tard, nous manipulerons ces composantes avec :
: v0, la vitesse initiale commune (200 m/s)
: aA, l'angle du canon A (45° soit pi/4 en radians)
: aB, l'angle du canon B (à trouver)
et leurs équations respectives :
: vxA = v0 cos(aA)
: vyA = v0 sin(aA)
: vxB = v0 cos(aB)
: vyB = v0 sin(aB)
N.B. : dans la suite, t représentera le moment de la collision.
L'obus B est intercepté à son apogée quand sa vitesse verticale (dyB) est nulle. Donc :
(eq1)
Quand les obus entrent en collision, ils sont au même endroit donc :
(eq2)
(eq3)
En substituant vyB de eq1 dans eq2, nous obtenons :
(eq4)
dont on peut extraire le temps t de la collision :
Pour l'instant, il y a deux racines car t est de degrés 2 dans l'équation précédente. Il y a peut-être deux possibilités d'arriver à la colision souhaitée ! Nous verrons un peu plus loin comment le savoir et choisir, s'il y a lieu, la bonne solution.
La variable t ne dépend maintenant plus que de valeurs connues (g et vyA=v0*sin(aA)). On peut donc la calculer. Cela donne :
t=-0.9675288 et/ou t=14.3982794 s
Avec ces deux résultats, on peut utiliser eq1 pour calculer deux valeurs de la composante verticale de la vitesse initiale de l'obus B :
vyB=-9.4817826 et/ou vyB=141.1031388 m/s
Un obus part vers le haut donc, avec les conventions de mon système, la vitesse verticale initiale doit être positive. Il faut donc écarter la solution incohérente et ne garder que le temps correspondant au vyB validé.
Avec t=14.3982794 s, vyB=141.1031388 m/s et vyB=v0*sin(aB), on peut calculer l'angle du canon B et la composante initiale horizontale de la vitesse de l'obus B :
aB=arcsin(vyB/v0) => aB=0.7831505 en radians
aB'=aB*180/pi => aB'=44.8712212 en degrés
vxB=v0*cos(aB) => vxB=141.7388592 m/s
Finalement, avec eq3 et la valeur de vxB, nous pouvons calculer la distance séparant les deux canons :
Ce qui donne :
d=136.8498601 m
Avec quelques calculs de plus, on peut retrouver les équations complètes des trajectoires des obus en fonction du temps :
et les visualiser dans un traceur de courbes
En espérant que cela a pu être utile à certains...
pour avoir une chance de gagné il doit aussi tiré a 45 degré car c'est avec cette inclinison que sa tire le plus loin car c'est le juste milieu entre zero et l'angle droit 90 degré.
En théorie
distance=+ 146.33 m
angle = 45°,15
Même si Anatole et Barnabé sont à jeuns, la précision des données et du matériel en 1 918 ne permettra pas aux deux obus de se rencontrer sauf hasard .
On peut rêver
A+
Bonjour,
Avec mes cours de terminale il me semble, et avec Maple pour résoudre les équations, je trouve :
Angle : 23.85°, et la distance : -415.92 mètres.
Bon j'espère que j'ai juste
++ et merci pour l'énigme
:o:(
Aurevoir novembre...
J'ai fait mon calcul comme si la vitesse du premier obus était constante... N'importe quoi....
Bon, je tente quand même une deuxième réponse, (sans pour autant en être sûr à 100%)...
On considère les deux équations qui donnent l'abscisse de l'obus, et son ordonnée à un temps t.
Je remplace par les valeurs connues, et j'obtiens pour les deux obus :
Je trouve aussi les coordonnées du point le plus haut pour le premier obus : (xh,yh).
Il reste à résoudre :
A1=xh, je trouve le temps T mis par le premier obus pour arriver au point le plus haut.
Puis : O2(T-1)=O1(T), et je trouve l'angle : 45,15°, puis en remplaçant par sa valeur, je trouve k en résolvant : A2(T-1)=A1(T).
Au final 45,15° et k146,33 m.
Merci pour le !!
Clôture de l'énigme :
- Dis donc, l'Anatole, t'as vu toute cette bleusaille qu'a essayé de trouver la réponse ?
- Ouais, Barnabé, et y'en a même qui voulaient que je me mette en face de toi. Y trouvent peut-être qu'on s'est pas pris assez d'obus sur la gueule pendant 4 ans ?
- Allez, c'est pas tout ça mais la poudre, ça dessèche la gorge. Tu reprends un canon ?
Et nos deux artilleurs de remplir leur quart en chantant « Le pinard, c'est de la vinasse »
Si vous voulez chanter avec eux, les paroles c'est ici
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