Je me demande, pourquoi pour calculer l'aire délimitée par une courbe d'une fonction et l'axe des abscisses et les deux droits x=a et x=b on utilise la primitive de la fonction
Bonsoir,
faisons simple :
Appelons l'aire sous la courbe A(x) à l'abscisse x
l'aire du petit rectangle rouge c'est A(x+dx)-A(x)
Elle est comprise entre l'aire des deux rectangles donc :
f(x) dx < A(x+dx) - A(x) < f(x+dx) dx f(x) < (A(x+dx)-A(x))/dx < f(x+ dx)
et si on fait tendre dx vers 0 ça donne f(x) < A'(x) < f(x)
qui montre que A(x) est bien une primitive de la fonction f(x).
Paisible journée!!
J'arrivais pas à comprende le A(x) :s est ce que vous pouvez le représenter visuallement ? Merci!!
Mais l'idée est bonne!! l'integrale c'est l'aire délimitée par la courbe de la fct ect... merci pour la clarification
salut
il est relativement évident que l'aire du petit rectangle rouge est :
[(x + dx) - x] * [f(x + dx) - f(x)]
comme on l'apprend en primaire ...
oui rectification A(x+dx)-A(x) c'est l'aire sous la courbe entre les abscisses x et x+dx.
Mais c'est vrai que si la courbe est croissante on a bien
A(x+dx)-A(x) plus grand que le rectangle inférieur d'aire f(x)dx et plus petit que le rectangle supérieur f(x+dx)dx (et si la courbe est décroissante on inverse les inégalités). et en passant à la limite ça donne bien A'(x) = f(x)
Autre raisonnement à la physicienne probablement moins rigoureux dira carpediem :
Quand on passe de x à x +dx l'aire varie de dA que l'on peut assimiler à un petit trapèze d'aire dA = dx (f(x)+f(x+dx))/2 puisque dx est infiniment petit.
dA/dx tend vers A'x) et (f(x)+f(x+dx))/2 tend vers f(x) donc ça donne bien A'x) = f(x)
non je suis tout à fait d'accord !!
le pb c'est cette notation dx qui gène les élèves ...
j'utilise alors dans un premier temps x et x + h avec h petit ...
mais je fais toujours le lien avec les physiciens pour "contextualiser" un peu ...
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