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La variance comme minimum d'une fonction

Posté par
skywel 07-01-18 à 14:18

Bonjour,
Alors voici mon exercice :

On considère une série stat quantitative de valeurs x1, x2, ... , xN.
Soit d la fonction définie sur par d(x) = 1/N [(x1-x)2+(x2-x)2+...+(xN-x)2 ]

1) Démontrer que pour tout réel x, on peut écrire d(x) sous la forme d(x) = ax2 +bx+c

avec a=1 ;     b=-2 * 1/N (x1+x2+ ... +xN) = -2 * 1\div N\sum_{i=1}^{N}{xi}  et c= 1/N (x12+x22+ ... +xn2) = 1\div N \sum_{i=1}^{N} xi2

2)a- en déduire que la fonction admet un minimum et que ce minimum est atteint en x=x(barre au dessus)

b-Donner l'expression du minimum d(x) (barre au dessus)
d(x) (barre au dessus) s'appelle la variance de la série statistique : c,'est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et x (barre au dessus). Elle permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série autour de sa moyenne x (barre au desus)

Où j'en suis dans mon travail :
Je vous avouerai que je n'ai pas compris grand chose... j'ai du mal avec les formules comprenant et je ne comprend pas les questions qu'on nous pose...


Merci de m'aider dans mon travail.

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 07-01-18 à 14:46

Bonjour

quel est le problème ?

question 1 on vous demande de développer

question 2 a)quel est le minimum d'une fonction du second degré  et en quel point il est obtenu  ?
b) quelle est sa valeur  ?

Posté par
skywelre : La variance comme minimum d'une fonction 07-01-18 à 15:33

Ca voudrait dire qu'il faut dévolopper (x1-x)2 avec l'identité remarquable a2+2*a*b-b2 ? et le a=1 c'est correspond à quoi  ?

Pour la question 2)a- et il faut determiner son extremum ?
b- Sa valeur c'est à dire ?

Merci

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 07-01-18 à 15:37

commençons par développer
mais si vous le faites comme vous l'avez écrit  il y a peu de chance que vous arriviez au résultat

\large (a-b)^2= a^2-2ab+b^2

Posté par
skywelre : La variance comme minimum d'une fonction 08-01-18 à 16:49

donc je développe ou pas ?

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 08-01-18 à 17:04

je vous ai dit  : «développez » en utilisant le rappel que j'ai fait pour le développement de l'identité remarquable

Posté par
skywelre : La variance comme minimum d'une fonction 09-01-18 à 12:31

Donc si je dévéloppe l'expression : 1\div N [(x1-x)2+(x2-x)2 + ... + (xN-x)2 ] je trouve :

1\div N (x12-2x1*x+x2+x22-2x2*x+x2 + ... + xN2-2xN*x+x2 )

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 09-01-18 à 16:46


d(x)=\dfrac{1}{N}\left(x_1^2-2x_1x+x^2+x_2^2-2x_2x+x^2+x_3^2-2x_3x+x^2+\dots+x_{N-2}^2-2x_{(N-2)}x+x^2+x_{N-1}^2-2x_{(N-1)}x+x^2++x_N^2-2x_Nx+x^2\right)

d(x)=\dfrac{1}{N}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2-2   x(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N)+Nx^2\right)

continuez

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 09-01-18 à 17:15

d(x)=\dfrac{1}{N}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2-2   x(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N)+Nx^2\right)

d(x)=\dfrac{1}{N}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2\right)-   \dfrac{2(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N)}{N}\times x+x^2\right)

d(x)=\underbrace{\dfrac{1}{N}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2\right)}_{c}-  \underbrace{ \dfrac{2(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N)}{N}}_{b}\times x+\underbrace{1}_{a}x^2\right)

Posté par
skywelre : La variance comme minimum d'une fonction 10-01-18 à 14:32

J'aimerais comprendre votre raisonnement, pourquoi dans la 2eme ligne vous divisé par N ? Et pourquoi Nx2 (à la 1ère ligne) devient *x+x2 à la 2ème ligne ?

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 10-01-18 à 15:38

parlez-vous du message de 17:15

première ligne \dfrac{1}{N} est suivi d'une parenthèse qui n'est fermée qu'après Nx^2

d(x)=\dfrac{1}{N}\left{\red{(}}x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2-2   x(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N)+Nx^2\right { {\red{)}}

ligne 2  je distribue  \dfrac{1}{N}
certes il n'a pas été écrit de la même manière partout

  en gardant la même écriture

d(x)=\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_{N-1}^2+x_N^2}{N}\right)-   \left(\dfrac{2\big(x_1+x_2+\dots+x_{N-1}+x_N\big)x}{N}\right)+\dfrac{Nx^2}{N}\right)

le dernier terme peut s'écrire x^2

Posté par
carpediemre : La variance comme minimum d'une fonction 10-01-18 à 15:44

salut

calculer Nd(x) est tellement plus pratique ...

Posté par
heklare : La variance comme minimum d'une fonction 10-01-18 à 15:49

le plus pratique est d'utiliser \displaystyle \sum

Posté par
carpediemre : La variance comme minimum d'une fonction 10-01-18 à 16:06

non \sum n'est qu'un détail dans l'écriture des calculs

par contre ce ""divisé par N" n'est pas pratique (dans le fait d'écrire les expressions)


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