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Limite de fonction continue

Posté par
Julien0220 01-11-16 à 10:57

Bonjour

J'ai un peu de mal à résoudre un exercice sur les limites, voici l'énoncé :

Vrai/Faux : Si f est une fonction continue en 0, vérifiant
\lim_{x\rightarrow 0\: x\neq 0}\ \frac{f(x)-f(-x)}{2x}=l\: \epsilon
alors f est dérivable en 0 et f'(0)=l

Je n'ai aucune idée par où commencer, mais je répondrais Faux à cette affirmation car je sais que si une fonction f est dérivable, elle est continue. Ici dans l'exercice, c'est la réciproque qui demande à être justifiée cependant on sait que la réciproque est fausse.

Cet argument est il suffisant pour justifier mon choix de répondre Faux à cette affirmation?

Merci pour votre aide

Posté par
carpediemre : Limite de fonction continue 01-11-16 à 11:10

salut

pas grand chose raisonnable dans ce que tu dis ....

\dfrac {f(x) - f(-x)} {2x} = \dfrac1 2 \left[ \dfrac {f(x) - f(0)}{x - 0} + \dfrac {f(0) - f(-x)} {0 - (-x)} \right]

Posté par
Julien0220re : Limite de fonction continue 01-11-16 à 11:19

Bonjour, je n'ai pas compris comment \dfrac {f(x) - f(-x)} {2x} = \dfrac1 2 \left[ \dfrac {f(x) - f(0)}{x - 0} + \dfrac {f(0) - f(-x)} {0 - (-x)} \right] peut justifier la réponse.
Aussi, pourquoi le fait de dire que la réciproque est fausse n'est pas bon?

Merci

Posté par
jeansebre : Limite de fonction continue 01-11-16 à 11:24

Cet argument est il suffisant pour justifier mon choix de répondre Faux à cette affirmation?

Non. Car ta fonction n'est pas simplement continue, elle a une propriété en plus, qui pourrait la rendre dérivable.

Il faut le prouver par un contre exemple

Par exemple, essaie avec |x| et  regarde.

Posté par
Julien0220re : Limite de fonction continue 01-11-16 à 12:19

Donc si j'essaie avec |x| j'obtiens :
Pour x<0 :
\lim_{x\rightarrow 0\: x<0}\ \frac{\mid x\mid-\mid -x\mid }{2x}=\lim_{x\rightarrow 0\: x<0}\ \frac{\mid x\mid+x }{2x}=-1\:

Pour x>0:
\; \lim_{x\rightarrow 0\: x>0}\ \frac{\mid x\mid-\mid -x\mid }{2x}==\lim_{x\rightarrow 0\: x<0}\ \frac{\mid x\mid+x }{2x}=1 \:

Les limites à gauche et à droite de 0 sont différentes, f n'est pas dérivable en 0.

Est-ce juste?

Posté par
carpediemre : Limite de fonction continue 01-11-16 à 12:43

|x| = |-x| <=> |x| - |-x| = 0


bien vu jeanseb

Posté par
jeansebre : Limite de fonction continue 01-11-16 à 14:11


Est-ce juste?

Pas vraiment:

- D'abord, tu sais que |x| n'est pas dérivable en 0 ?

Pour x<0 : \\ \lim_{x\rightarrow 0\: x<0}\ \frac{\mid x\mid-\mid 0\mid }{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0\: x<0}\ \frac{ -x }{x}=-1\: \\ \\ Pour x>0: \\ \; \lim_{x\rightarrow 0\: x>0}\ \frac{\mid x\mid-\mid 0\mid }{x-0}==\lim_{x\rightarrow 0\: x>0}\ \frac{ x}{x}=1 \:


Donc |x| n'est pas dérivable en 0 ("ça fait un angle", donc il n'y a pas une tangente, mais deux demi-tangentes)

- Si tu prends la propriété de l'énoncé

f(x) -f(-x) = |x|-|-x| = 0  donc pour tout x différent de 0, le quotient vaut 0, donc sa limite en 0 est 0

Si la proposition était vraie, |x| serait dérivable en 0 de dérivée 0. Ce qui n'est pas le cas . Donc elle est fausse.


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