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logique : élimination des connecteurs
Bonjour,
Je suis actuellement en licence de philosophie et je suis des cours de logique propositionnelle.
Mais en faisant une exercice, je suis bloqué et je n'arrive pas à la résoudre.
Voici l'énoncé :
6 Élimination de connecteurs logiques (3 pts)
Pour chacune des formules suivantes donnez une formule qui lui soit équivalente n'utilisant pas d'autres connecteurs que ¬ et ∧ :
1. (¬p∨¬q)
2. ((p→q)∨(q→p))
3. (p→(p∨q))
Pour la première formule, j'ai appliqué la loi de Morgan, ce qui donne
¬(p ∧ q)
Mais je n'arrive pas à trouver la solution pour les formules 2 et 3.
Voici où j'en suis :
2. ((p→q)∨(q→p))
Par la loi du conditionnel : ((¬ p v q)v(¬q v p))
3. (p→(p∨q))
Par la loi du conditionnel : (¬ p v (p v q))
Et par l'associativité : ((¬ p v p) v q)
Ce qui pose vraiment problème c'est le fait de devoir n'utiliser que les connecteurs ¬ et ∧.
Je vous remercie tous en avance pour vos réponses.
Younsung
bonjour,
Tu sais que p->q est équivalent à (non p)vq
pour 2 transforme de mème q->p ensuite tu "factorises " dans les 2 parenthèses par"non" comme tu sais le faire avec la loi de Morgan puis tu "factorises" de nouveau par "non" pour l'ensemble avec la mème loi. Comme cela tu as remplacé les "ou" par des "et"
bonjour à vous deux,
je ne fais que passer pour préciser qu'on peut aussi établir des tables de vérité.
Bonne journée
Bonjour à tous,
Pour le 2 on peut utiliser le fait que l'opérateur « ou » est commutatif et associatif d'où une grande simplification en utilisant le fait que (non A) ou (A) = Vrai
Pour le 3 on peut utiliser la même technique.
Bonsoir,
Alors, pour la question 2, après beaucoup de factorisations, j'ai trouvé :
¬((p∧ ¬q) ∧ (q ∧ ¬p))
Et pour le 3, avec l'associativité et la commutativité,
p ou q
Mais je suis embêté car « p ou q » n'a pas la même table de vérité que (p→(p∨q)).
Bonsoir,
Pour la question 2, ((¬p v q) v (¬q v p)) = ((¬p) v p) v ((¬q ) v q) = (Vrai) v (Vrai) = Vrai
Pour la question 3, ((¬p v p) v q) = (Vrai) v q = q
Est ce clair ?
Si j'ai bien compris,
p ou non p est tautologique,
de même pour q ou non q.
Alors, pour la question 2, on a une formule qui est tautologique. ㅑφ
Et pour le 3, ㅑ φ ou q = q
Merci beaucoup pour vos réponses !
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