Niveau BTS

mathématiques financières

Posté par
rassoul 17-11-09 à 09:11

bonjour,s'il vous j'ai été confronter à quelques dificultés dans la résolution de l'exercice suivant et j'aimerai que vous puissiez m'aider.voici donc l'exercice:

                     exercice:

       Un société industrielle a contracté un emprunt amortissable par annuités constantes.un peu avant de verser la quatrième l'entreprsie demande à son créancier d'accepter l'une des propositions suivantes:
     a)  Payer à la date convenu les intérêts faisant partie de la quatrième annuité, soit 3 744 446 F et le resye en 15 annuités contantes de 4 889 813 F chacune, calculées au taux 9%, la première payable un an après.
     b)  Payer normalement la quatrième annuité et le reste en 20 annuités constantes de 3 855 624 F chacune, calculées au taux 9%, la première payable un an après.
       Ces deux propositions étant considérées comme équivalentes au taux 9%, on demande de calculer l'annuité primitive, le taux initial, la durée de remboursement initialement prévue et le montant de l'emprunt primitif.

Posté par re : mathématiques financières 17-11-09 à 12:14

Je n'ai pas l'intention de tout faire, mais voici un petit coup de pouce.

Si le capital emprunté est C, l'annuité R et le taux t, alors le capital restant dû $C_d(n)$ après le versement de la n-ième annuité est :

$C_d(n)=[C-(\frac{R}{(1+t)}+\frac{R}{(1+t)^2}+\frac{R}{(1+t)^3}+\cdots +\frac{R}{(1+t)^n}}]\times (1+t)^n$

soit, tous calculs faits :

$C_d(n)=C(1+t)^n-R\frac{(1+t)^n-1}{t}$

Dans le premier cas, à la place de la quatrième annuité, on se contente de verser seulement la partie "intérêts". Or cet intérêt-là est calculé sur le capital restant dû après le versement de la troisième annuité, c'est-à-dire sur $C_d(3)=C(1+t)^3-R\frac{(1+t)^3-1}{t}$ , il est donc égal à :

$C_d(3)\times t$ soit $[C(1+t)^3-R\frac{(1+t)^3-1}{t}]\times t$

Par conséquent on a une première relation :

$[C(1+t)^3-R\frac{(1+t)^3-1}{t}]\times t = 3744446\,\,\,\,\,[1]$

Et comme on n'a pas versé d'amortissement, le capital restant dû est le même qu'après le versement de la troisième annuité : Restant dû $C_1=C(1+t)^3-R\frac{(1+t)^3-1}{t}\,\,\,\,\,[2]$

Dans le deuxième cas, au contraire on paie intégralement la quatrième annuité, donc le capital restant dû après ce versement est $C_d(4)$ , soit $C_2=C(1+t)^4-R\frac{(1+t)^4-1}{t}\,\,\,\,\,[3]$

Dans le premier cas, on rembourse donc la somme $C_1$ en 15 annuités de 4889813 au taux de 9% donc :

$4889813=C_1\frac{0.09}{[1-(1,09^{-15}]}\,\,\,\,\,[4]$

Dans le deuxième cas on rembourse la somme $C_2$ en 20 annuités de 3855624 donc :

$3855624=C_2\frac{0.09}{[1-(1,09^{-20}]}\,\,\,\,\,[5]$

Tu peux donc d'abord calculer $C_1$ et $C_2$ avec ces deux dernières relations.

Il te reste trois inconnues C, t et R, et trois équations. Je te laisse terminer !

Le prêt initial était censé durer n annuités, donc :

$R=\frac{Ct}{1-(1+t)^n}$

... ce qui finalement te permettra de trouver n lorsque tu auras déterminé les valeurs respectives de C, t et R !

Posté par re : mathématiques financières 17-11-09 à 15:52

bonjour
soit n la durée du prêt initial, C₀ le capital, t le taux
dans la 1ere solution proposée à la date 4, il reste à verser n-3 amortissements
dans la 2eme solution proposée à la date 4, il reste à verser n-4 amortissements
la différence est donc le 3eme amortissement noté A₃
donc $A_3=4889813 \frac{1-(1.09)^{-15}}{0.09}- 3855624 \frac{1-(1.09)^{-20}}{0.09}=4219019.3065$
quant à l'intérêt versé dans la 4eme annuité il est égal à $C_3t=3744446$ où C₃ est le capital restant dû après le versement des 3 premières annuités
mais ici je "coince" pour aller simplement plus loin(il y a des jours comme cela); je vais chercher

Posté par re : mathématiques financières 17-11-09 à 16:15

j'ai trouvé mon erreur il s'agit du quatrième amortissement et non du troisième ??????
donc $A_4=4219019.3065$
par suite l'annuité de l'emprunt initial vaut $a=C_3t+A_4=7968465.3065$
suf erreur de calcul

Posté par re : mathématiques financières 17-11-09 à 18:15

suite et fin
petite erreur de frappe a=7963465.3065
$C_3=\bigsum_{i=4}^n A_i=4889813\frac{1-1.09^{-15}}{0.09}=39415259.0733$
or $C_3 t=3744446$ $t=9.50%$
$a=C_0 t+A_1$ et $A_1=A_4 (1+t)^{-3}=3213432.30378$ d'où C=50000000
puis $50000000=7963465.3065\frac{1-1.095^{-n}}{0.095}$ $1.095^{-n}=0.403526$ n=10