Bonjour à tous,
J'ai un sujet de DM à faire, mais je ne sais pas du tout comment faire pour trouver la première question. Voici mon sujet :
L'objet de ce problème est de présenter et appliquer une méthode d'optimisation sous contrainte connue sous le nom de multiplicateur de Lagrange.
Soient n un entier naturel non nu, U un ouvert de ^n, f une fonction de classe C1 de U dans et c une fonction de U dans de classe C1 également, nommée coût. On cherche à optimiser f(x) sous la contrainte c(x) = 0, (ie) trouver le ou les extrema s'ils existent de la fonction f restreinte à l'ensemble : C = {xU, c(x)=0} des vecteurs de U vérifiant la contrainte.
1 : (Contre-)Exemple préliminaires.
1.1 : Montrer par un exemple qu'un tel point n'est pas forcément un point critique de la fonction f. Pourquoi n'est-ce pas contradictoire avec le théorème suivant :
Soit U un ouvert d'un ev normé E et f de U dans une application de classe C1. Alors tout point de U en lequel f admet un extremum local est nécessairement un point critique
1.2 : Donner l'exemple d'une fonction f admettant un point col en x0 qui devient un extremum lorsqu'on ajoute la contrainte.
Alors c'est sur ces questions que je bloque.
En effet, pour la 1.1 Un point critique est un point pour lequel toutes les dérivées partielles s'annulent...mais après je ne vois vraiment pas. Et pourquoi il me parle du théorème??
Pour la 1.2 je ne vois vraiment pas, quand on ajoute la contrainte (ie) c(x) cela sert-il à quelque chose ? puisque cette contrainte est : C = {xU, c(x)=0}
Je ne sais pas, si quelqu'un pouvait m'aider...
Je vous remercie d'avance et vous souhaite de bonnes fêtes de fin d'année.
Très cordialement,
Nonoch
Salut
1.1 C n'est pas nécessaire ouvert (on prend c une forme n-linéaire continue, alors C est fermé par exemple) donc on ne peut pas appliquer le théorème.
1.2 Je n'ai pas compris la question ...
cela sert-il à quelque chose
A ton avis ?
Ton énoncé n'est pas clair, on ne comprend pas où sont tes questions précisément...
Rebonjour,
Voici l'énoncé :
Soient n un entier naturel non nu, U un ouvert de ^n, f une fonction de classe C1 de U dans et c une fonction de U dans de classe C1 également, nommée coût. On cherche à optimiser f(x) sous la contrainte c(x) = 0, (ie) trouver le ou les extrema s'ils existent de la fonction f restreinte à l'ensemble : C = {xU, c(x)=0} des vecteurs de U vérifiant la contrainte.
1 : (Contre-)Exemple préliminaires.
1.1 : Montrer par un exemple qu'un tel point n'est pas forcément un point critique de la fonction f. Pourquoi n'est-ce pas contradictoire avec le théorème suivant :
Soit U un ouvert d'un ev normé E et f de U dans une application de classe C1. Alors tout point de U en lequel f admet un extremum local est nécessairement un point critique
1.2 : Donner l'exemple d'une fonction f admettant un point col en x0 qui devient un extremum lorsqu'on ajoute la contrainte.
J'appelle point selle ou point col, un point hyperbolique (ie) lorsque le fonction f n'a pas d'extremum en ce point.
la suite du problème est le suivant :
2. Méthode
On pose, pour tout x = (x1,...,xn) U et tout
g(x1,...,xn,) = f(x) + c(x)
On définit ainsi une nouvelle fonction g de Ux dans , appelée Lagrangien du problème, la "nouvelle variable" étant appelée multiplicateur de Lagrange.
2.1 Démontrer que la fonction ainsi définie est de classe C1
2.2 Soit (x0,) un point critique de g montrer que x0 C
2.3 Soit h un vecteur de U assez petit pour que x0+h C (cela revient à assimiler localement la courbe C à sa tangente au point x0) Démontrer qu'alors f(x0+h) - f(x0) = o(h)
Qu'est-ce que cela signifie en termes de dérivée de f dans la direction de C?
3. 1ere Application :
Déterminer les extrema de la fonction f de ² dans :
f(x,y) = sin(xy) sur le cercle trigonométrique et précisez leur nature.[u][/u]
Voilà la première partie du problème, le trouver vous plus clair?
Toute la partie 2 j'ai réussi à la faire, par contre, les parties 1 et 3 me semblent obscures...
Merci de votre aide.
Cordialement,
Nonoch
Bonjour,
on a déjà traité 1.1 et 1.2.
Pour la 3, il suffit de trouver la contrainte. Comment peux tu décrire mathématiquement le cercle unité ?
Bonsoir,
Je peux décrire le cercle unité comme ceci : x² + y² - 1 = 0.
Je poserai donc la contrainte c(x) = x² + y² - 1 et donc après je ferai les dérivées partielles successives.
C'est bien comme cela qu'il faut faire?
Merci de votre réponse.
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