Salut

1.1 C n'est pas nécessaire ouvert (on prend c une forme n-linéaire continue, alors C est fermé par exemple) donc on ne peut pas appliquer le théorème.

1.2 Je n'ai pas compris la question ...

Bonjour, qu'appelles tu point col ? Point selle?

Si c'est le cas, x^2-y^2 fait l'affaire, non ?

cela sert-il à quelque chose
A ton avis ?

Ton énoncé n'est pas clair, on ne comprend pas où sont tes questions précisément...

Rebonjour,

Voici l'énoncé :

Soient n un entier naturel non nu, U un ouvert de ^n, f une fonction de classe C1 de U dans  et c une fonction de U dans de classe C1 également, nommée coût. On cherche à optimiser f(x) sous la contrainte c(x) = 0, (ie) trouver le ou les extrema s'ils existent de la fonction f restreinte à l'ensemble : C = {xU, c(x)=0} des vecteurs de U vérifiant la contrainte.

1 : (Contre-)Exemple préliminaires.

1.1 : Montrer par un exemple qu'un tel point n'est pas forcément un point critique de la fonction f. Pourquoi n'est-ce pas contradictoire avec le théorème suivant :
Soit U un ouvert d'un ev normé E et f de U dans une application de classe C1. Alors tout point de U en lequel f admet un extremum local est nécessairement un point critique

1.2 : Donner l'exemple d'une fonction f admettant un point col en x0 qui devient un extremum lorsqu'on ajoute la contrainte.


J'appelle point selle ou point col, un point hyperbolique (ie) lorsque le fonction f n'a pas d'extremum en ce point.

la suite du problème est le suivant :

2. Méthode

On pose, pour tout x = (x1,...,xn) U et tout

g(x1,...,xn,) = f(x) + c(x)

On définit ainsi une nouvelle fonction g de Ux dans , appelée Lagrangien du problème, la "nouvelle variable" étant appelée multiplicateur de Lagrange.

2.1 Démontrer que la fonction ainsi définie est de classe C1
2.2 Soit (x0,) un point critique de g montrer que x0 C
2.3 Soit h un vecteur de U assez petit pour que x0+h C (cela revient à assimiler localement la courbe C à sa tangente au point x0) Démontrer qu'alors f(x0+h) - f(x0) = o(h)
Qu'est-ce que cela signifie en termes de dérivée de f dans la direction de C?

3. 1ere Application :
Déterminer les extrema de la fonction f de ² dans :
f(x,y) = sin(xy) sur le cercle trigonométrique et précisez leur nature.[u][/u]

Voilà la première partie du problème, le trouver vous plus clair?

Toute la partie 2 j'ai réussi à la faire, par contre, les parties 1 et 3 me semblent obscures...

Merci de votre aide.

Cordialement,

Nonoch

Bonjour,
on a déjà traité 1.1 et 1.2.

Pour la 3, il suffit de trouver la contrainte. Comment peux tu décrire mathématiquement le cercle unité ?

Bonsoir,

Je peux décrire le cercle unité comme ceci : x² + y² - 1 = 0.

Je poserai donc la contrainte c(x) = x² + y² - 1 et donc après je ferai les dérivées partielles successives.

C'est bien comme cela qu'il faut faire?

Merci de votre réponse.

C'est parfait.