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Niveau maths spé
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Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif.

Posté par
ducar
28-12-08 à 22:51

Donc voila je suis bloqué sur un DM.
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans R tel que l'application
(f,g)->\int_0^{1} \frac{f(t)\times g(t)}{\sqrt{t \times (1-t)}} dt
soit un produit scalaire.
Donc j'arrive facilement a montrer que l'application est une forme bilinéaire symétrique et positive mais je n'arrive pas a montrer que c'est défini-positif parce que ma fonction
         \frac{f(t) \times f(t)}{\sqrt{t \times (1-t)}} n'est ni continue ni continue par morceau sur le segment [0,1]...
Quelqu'un peut-il m'aider? merci

Posté par
Maque11
re : Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif. 28-12-08 à 23:20

Elle continue au moins sur (0,1) non ?

Posté par
ducar
re : Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif. 28-12-08 à 23:51

ben que sur ]0,1[

Posté par
ducar
re : Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif. 28-12-08 à 23:53

En fait j'ai un théorème qui me dit que si l'intégrale sur un segment d'une fonction continue sur ce segment est nulle alors cette fonction est nulle, mais c'est pour un segment et je ne sais pas si je peux l'appliquer sur un ouvert ]0,1[?

Posté par
Nightmare
re : Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif. 29-12-08 à 04:35

Salut

Eh bien déjà tu peux affirmer que l'intégrande est nul sur ]0,1[ !
Il reste à voir ce qui se passe en 0 et en 1 :

Supposons f non nulle en 0 ou 1, alors l'intégrande va tendre vers l'infini en ces points, ce qui contredit le caractère intégrable de ce dernier.

Posté par
otto
re : Montrer qu'un produit scalaire est défini-positif. 29-12-08 à 11:07

Supposons f non nulle en 0 ou 1, alors l'intégrande va tendre vers l'infini en ces points, ce qui contredit le caractère intégrable de ce dernier.
Je ne comprend pas trop où tu veux en venir. La fonction f est continue sur [0,1] mais est quelconque. L'intégrande est toujours intégrable puisque se comporte comme du ^1/2 au voisinage des singularité, ce qui est bien intégrable, non ?

Pour montrer que c'est non dégénéré c'est facile, tu as l'intégrale d'une fonction positive continue et on sait que c'est toujours positif et que c'est nul si et seulement si la fonction est nulle.

Si tu n'as le résultat que pour les intégrales définies, ce n'est pas difficile de généraliser le résultat en prenant l'intégrale sur un ensemble [a,b] inclus dans (0,1) et de faire tendre a et b vers 0 et 1.



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