Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Montrer que f(Un)=Un^n
Bonjour a tous,
je vous présente l'énoncé suivant :
Soif f:[0,1]->[0,1] continue.
1. Montrer que 
n
étoile 
Un [0,1] : f(Un)=Un^n
indication : on utilisera la fonction gn: x = f(x)-x^n
2.On fait l'hypothese supplémentaire que f est strictement décroissante. Montrer que nétoile Un est unique et que lim Un quand n tend vers +
= 1
Bon alors pour la premiere question, je ne sais pas si il faut faire une récurrence voir meme une double récurrence ( je suis embrouillé avec les X les Un et les n). Je comprends que si Un est compris entre [0,1] alors quelque soit son exposant n Un^n sera toujours comprit entre [0,1] comme f(Un) donc de ce fait gn(x) = 0 .. Enfin je pense que ce soit le raisonnement mais je ne sais pas par quoi commencer ...
Pas trop mal a la tete ? ^^
Merci d'avance pour votre aide
Re bonjour,
Bon la première question c'est comme la question de l'autre exercice à peu de choses près.
Regarde la 2 après..
re ^^
Oui mais la il faut montrer que f(Un)=Un^n pour tout n a part 0 alors quand dans l'autre exo il fallait montré seulement un point fixe. Faut-il utiliser une récurrence ? Ou alors repasser par g(0) et g(1) ?
Non, il faut montrer que pour tout n il existe un, c'est donc juste un point fixe... Mais pour chaque n.
Salut
1)On veut montrer que l'équation admet une solution dans [0,1] noté
Alors on pose on a
puisque selon l'énoncé f est définie vers
et on a
puisque
Donc comme h est une fonction continue alors selon TVI donc
pour 2)
Pour montrer l'unicité,on peut commencer par montrer l'implication suivante:
f une fonction continue est strictement monotone ---> f est une bijection (et plus particulièrement une injection)
on suppose que l'équation admet deux solutions distinctes,je les note et
donc on doit montrer que
donc en gros on veut montrer l'implication
on peut montrer la contraposée, càd
alors on suppose que donc
alors comme f est strictement décroissante
dans les deux cas
CQFD
Donc la solution est unique
Pour démontrer la limite
On doit commencer par démontrer que admet une limite finie.
donc comme elle est bornée,commence par démontrer qu'elle est monotone.
bonne chance
Salut sami-dh,
Je suis d'accord avec toi pour la 1) (mais pas sur le fait de donner la réponse directement).
Pour la 2), il y a beaucoup plus simple pour l'unicité.
Annuler
connectez vous