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moyennes arithmétique et géometrique:exercice de suites Ts

Posté par romain999944 (invité) 30-10-07 à 22:49

Bonsoir je suis en Ts et je suis en train de galerer sur un exercice en Dm. L'énoncé est:

a et b sont deux reels tels que 0 inferieur à a inferieur à b. les suites (Un) et (Vn) sont définies par U(0)=a, V(0)=b et pour tout entier n: U(n+1)=racine(Un*Vn) et V(n+1)=(Un+Vn)/2
questions:
1) Prouver que, pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs.
2)prouver que, pour tout n,Un=( ou inferieur)Vn
3) a)demontrer que pour tout n,V(n+1)-U(n+1)= (ou inferieur )(vn-un)/2
s'il vous plait pouvez vous m'aider! j'ai deja fait les deux premieres questions mais pour la troisieme je bloque vraiment.

Posté par re : moyennes arithmétique et géometrique:exercice de suites Ts 30-10-07 à 23:42

Bonsoir,

$v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\sqrt{u_nv_n}=\frac{u_n+v_n-2\sqrt{u_n}\sqrt{v_n}}{2}$

or, $u_n\leqv_n\Longleftrightarrow \sqrt{u_n}\leq \sqrt{v_n}$ l

Posté par re : moyennes arithmétique et géometrique:exercice de suites Ts 30-10-07 à 23:49

Euh, fausse manoeuvre, je continue...

or $u_n\leq v_n \Longrightarrow \sqrt{u_n}\leq \sqrt{v_n}$ car la fonction racine est croissante sur $\mathbb{R}^+$

d' où $\sqrt{u_n}\sqrt{v_n}\geq (\sqrt{u_n})^2$

et $-2\sqrt{u_n}\sqrt{v_n}\leq -2{u_n}$

On a donc $v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{u_n+v_n-2u_n}{2}$

soit: $v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{v_n-u_n}{2}$

Posté par ptitbout93 (invité)Même problème 04-11-07 à 14:49

J'ai le même Dm à rendre bientôt et comme toi je suis bugué donc si on pouvais nous aider ça serait cool :$
Tu as trouvé quoi aux deux premiers questions ?

Posté par romain999944 (invité)re : moyennes arithmétique et géometrique:exercice de suites Ts 04-11-07 à 18:05

jai fait les deux premiere question par recurrence

Posté par romain999944 (invité)re : moyennes arithmétique et géometrique:exercice de suites Ts 04-11-07 à 18:06

je nsai pa si sa peut t'aider....

Posté par ptitbout93 (invité)=S 06-11-07 à 16:25

Euh pas beaucoup =S
Tu peux m'expliquer un peu stp ? =$ Jsuis nulle en maths malheuresement =(
Tu as plusieurs exercices dans ton DM ou que celui la ?
Parce que moi j'en ai pleins et c'est la galère ! =(
Merci de ton aide...

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