Bonjour,

j'ai cet exercice sur les nombres triangulaires et carrés à faire, or je rencontre quelques difficultés...

Les pythagoriciens associaient une figure visible (autre qu'un signe conventionnel comme un chiffre) aux nombres. A l'aide de la figure formée, ils pouvaient visualiser certaines propriétés. Nous allons nous intéresser à des nombres figurés particuliers appelés nombres triangulaires et nombres carrés.

Le but du problème est de trouver de nombres à la fois carrés et triangulaires.

1/Quelques exemples:
On notera C_n le nb carré figuré par un carré dont le côté comporte n points et T_n le nombre triangulaire figuré par un triangle dont la base comporte n points.
a/Expliciter en fonction de n les nb C_n et T_n
b/Déterminer à l'aide d'une calculatrice 2 nbs à la fois triangulaires et carrés.
c/Vérifier que 41 616 est à la fois triangulaire et carré.

2/Une conditions nécessaire et suffisante
Montrer qu'un entier naturel N est à la fois triangulaire et carré si et seulement si il existe 2 entiers naturels non nuls x et y tels que N=x² et y² - 8x² =1

3/D'autres solutions
On considère les deux suites (x_n) et (y_n définies par x0=1, y0=3 et pour tout n 0:
x_n+1=3x_n + y_n
et y _n+1= 8x_n+ 3y_n
On note alors N_n=x_n²
a/Vérifier que N0,N, N2 sont des nombres à la fois triangulaires et carrés.
b/Montrer que pour tout n 0, x_n et y_n sont des entiers naturels non nuls tels que y_n² - 8x _n²=1
En déduire que N_nest un nb triangulaire et carré.
c/Déterminer 3 nouveaux nbs triangulaires et carrés.

Voici mes réponses:
1/a/C_n =n²
T_n= n (n-1)/2 ou T_n= 1+2+3+...+(n-1)+n
Je ne sais pas comment montrer que j'arrive à ces formules trouvés sur internet.
b/ 36 car 6*6=6²  et 9(9-1)/2 = 36
  1225 car 35*35=35²  et 50(50-1)/2
c/ 41 616 =204
204*204=204²=41 616
et 289(289-1)/2=41 616
204²=289(289-1)2 = 41 616
41 616 est donc à la fois carré et triangulaire

2/Je ne vois pas du tout comment faire.

3/j'ai calculé x1=6 x2=35 y1=17 y2=99 mais je ne vois pas le rapport avec N0, N1 et N2 ....

Pour la suite si quelqu'un pouvait m'aider,
Merci d'avance

*** message déplacé ***

Bonjour,

Le multi-post est interdit dans ce forum :
Relis ceci Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
Ainsi que les réponses aux questions Q02 et Q03 de la FAQ [lien]
Clique sur les maisons, ce sont des liens !

*** message déplacé ***

Bonjour,
si j'ai posté mon topic à nouveau, c'est simplement parce que je n'ai pas vu le 1er en ligne, je m'en excuse.

*** message déplacé ***

Il est très facile de retrouver ses messages : pour apprendre, clique sur la maison [lien]

*** message déplacé ***

Merci

*** message déplacé ***

up, s'il vous plaît

1/a/ Ton expression de Tn est fausse.
Un triangle de base n points comporte n lignes :
*
* *
* * *
* * * *
...
* * * * * * * * (n points)
Tn = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

1/b/ Faux.
1/c/ Faux.

2/
Montrer qu'un entier naturel N est à la fois triangulaire et carré si et seulement si il existe 2 entiers naturels non nuls x et y tels que N=x² et y² - 8x² =1

N est triangulaire et carré
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et N = z(z+1)/2
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et x² = z(z+1)/2
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et z²+z = 2x²
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et 4z²+4z = 8x²
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et 4z²+4z+1 = 8x²+1
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et (2z+1)² = 8x²+1
<=> il existe x et z entiers tels que N = x² et (2z+1)² - 8x² = 1
<=> il existe x et y entiers tels que N = x² et y² - 8x² = 1

3/a/ est simple. Quelle est précisément ta réponse ?

Bonjour,

pour les questions 1/a/b/c/ puisque ma formule de Tn était fausse, les résultats aussi, j'ai donc corrigé avec Tn=n(n+1)/2.

3/a/ x0=1 donc N0=x²0=1²=1
x1=6 donc N1=x²1=6²=36
x2=35 donc N2=x²2=35²=1225

Ce n'est qu'une partie de la réponse à 3/a/. Relis l'énoncé...

Puisqu'au début de l'exercice j'ai appliqué les formules , à avoir n² et n(n+1)/2 pour trouver que 36 et 1225 sont bien triangulaires et carrés à la fois, je ne vois pas comment faire autrement? avez-vous une indication à donner?
Pour le reste, pouvez-vous m'éclairer?

3/a/ Vérifier que N0, N1, N2 sont des nombres à la fois triangulaires et carrés.

Je répète : merci d'écrire ta réponse précise, montrant que ces nombres sont triangulaires et carrés.

3/b/ Montrer que pour tout n >= 0, xn et yn sont des entiers naturels non nuls tels que yn²- 8.xn² = 1

As-tu au moins essayé ? La récurrence se fait vraiment sans problème.

Initialisation : a toi de jouer

Hérédité :



par hypothèse de récurrence

par hypothèse de récurrence

Bonjour,

3/a/
N0=1²=1
N1=6²=36
N2=35²=1225 les nombres N0,N1,N2 sont donc carrés puisque N=n²

N0=1(1+1)/2=2/2=1
N1=8(8+1)/2=72/2=36
N2=49(49+1)/2=2450/2=1225  les nombres N0,N1,N2 sont donc triangulaires car n(n+1)/2=N
Ils sont à la fois carrés et triangulaires.

3/b/ Je ne comprenais pas puisqu'en remplaçant j'arrivais soit à -16x²_n -5y²_n soit à -16x_n-5y_n

Merci

Je t'en prie.