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Olympiades académiques de première
Bonsoir, alors, c'est bientôt le grand jour des olympiades académiques et je compte bien faire parti des lauréats. Je fais quelques petits exercices d'annales d'olympiades.
J'ai trouvé un exercice avec un corrigé (des Olympiades de 2001). Mais le problème est que je ne trouve pas le même résultat et il est peu clair.. peut-être que le corrigé est faux ?
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Les faces d'un dé en forme de tétraèdre régulier sont numérotées de 1 à 4.
Le dé est posé sur une table, face « 1 » contre cette table.
Une étape consiste à faire basculer le dé autour de l'une quelconque des arêtes de sa base.
À l'issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la somme s de tous ces nombres après 2001 étapes, en comptant aussi le « 1 » initial.
* Donner la valeur maximale et la valeur minimale que l'on peut ainsi obtenir pour s.
* La somme s peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre ces deux valeurs ?
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J'ai trouvé 3001 pour la valeur minimale, et 7001 pour la valeur maximale. Tandis que dans le corrigé, ils ont 3003 pour la valeur minimale et 7005 pour la valeur maximale.
Et pour la deuxième question, le corrigé n'explique pas grand chose.. Si quelqu'un aurait une petite solution simple ?
Bonjour, je pense que c'est un problème de "piquets".
Au bout d'une étape, on a déjà fait 3 au minimum : le 1 du départ, et le 2 qui suit. Tu es d'accord avec ça ?
Bonjour
Tiens, les Olympiades de 2001 ? ça me dit vaguement quelque chose ! 
Sinon, pour la question 1, il est précisé qu'une étape consiste à faire basculer le dé donc le 1 du départ ne compte pas et du coup, tu ne dois compter que 2000 étapes.
Kaiser
Ensuite, on fait encore 2000 étapes, avec des 1 et des 2, donc 3000
On ajoute 3 et 3000 et on arrive à 3003.
Salut Kaiser
Je me suis fait tellement avoir par des questions de piquets dans les énigmes, que je les vois de loin, maintenant 
Ah oui, d'accord, j'ai compris où est mon erreur. J'ai mal compris en quoi consiste une étape. C'est très suptile les mathématiques. =D
Sinon pour la deuxième question, il y aurai un moyen de montrer de façon solide que la somme s peut prendre toutes les valeurs entre le minimum et le maximum ?
(
)
En cinq heures je trouverais bien le moyen de faire une ou deux questions, pour sauver l'honneur 
T'as des examens à passer cette année Kaiser ? 
En cinq heures je trouverais bien le moyen de faire une ou deux questions, pour sauver l'honneur
T'as des examens à passer cette année Kaiser ?
oui !
Kaiser
Sinon, pour revenir au problème initial, AnthOw, tu dis qu'il n'est pas expliqué grand chose sur cette deuxième question mais que disent-il exactement ?(On ne sait jamais)
Kaiser
"* Toutes les valuers intermédiaires sont obtenues, de la manière suivante:
1+2+1+2+1+2+ .. +1+2 puis
1+3+1+2+1+2+ .. +1+2 puis
1+3+1+3+1+2+ .. +1+2 etc jusqu'à obtenir
1+3+1+3+1+3+ .. +1+3.
Ensuite on recommence en transformant progressivement les 3 en 4; ceci fait, on change progressivement les 1 en 2, et enfin on change progressivement les 2 en 3."
(ça vient de http://www.animath.fr/)
OK, je vois ce qu'il entendent par là !
En fait, lorsqu'ils changent un 2 en 3 (1 en 2 ou 3 en 4), ils obtiennent une somme qui vaut 1 de plus que la précédente.
Ainsi, en partant de la somme la plus petite, on arrive à la somme la plus grande en faisant des pas de 1 donc nécessairement on tombe sur tous les entiers compris entre 3003 et 7005.
Si tu veux justifier cela rigoureusement, il faut passer par des suites (avec plusieurs indices).
Tu vois où je veux en venir ?
Kaiser
Ah oui d'accord, je vois le principe mais je ne vois pas comment utiliser les suites là dessus ?
Je pense qu'il faudra chercher l'expression fonctionnelle d'une suite arithmétique ? Par où commencer ?
Par exemple, pour k compris entre 0 et 2001, on pose la suite définie par pour tout n compris entre 1 et 2001 :
Ces suites permettent de définir le premier changement des 2 en 3.
Pour les autres changement, il suffit de définir des suites de ce genre.
Kaiser
D'accord, j'ai pas tout bien compris mais en tout cas, je recopie la suite et je vais essayer de comprendre ça loin de mon pc. Je reviendrai
Merci beaucoup.
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