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petite démonstration

Posté par
flopflop 03-10-07 à 18:52

J'ai un exercice pour demain mais je bloque sur une partie du problème
Merci de votre aide:

u_0=3
u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{3}
u_n=\frac{7}{v_n}

Démontrer que quelque soit n appartenant à N u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{4u_{n+1}}(u_n-v_n)^2
Puis déterminer le sens de variation de la suite u puis celui de v

Merci encore

Posté par
flopflopDM de maths 03-10-07 à 20:31

Pour demain j'ai un dm de maths mais je suis bloqué sur quelques questions:

Merci de votre aide:

u_0=3
u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{3}
v_n=\frac{7}{v_n}

1/Montrer par récurrence que n u_n>0 et v_n>0

2/ Démontrer que n u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{4u_{n+1}}(u_n-v_n)^2
Puis déterminer le sens de variation de la suite u puis celui de v

3/a: Montrer que n étoile , \frac{21}{8}u_n
b: En déduire que n étoile , u_{n+1}-v_{n+1}\frac{1}{10}(u_n-v_n)^2
c: Par récurrence montrer que n étoile , u_n-v_n\frac{1}{10^{2n-1}}

Merci encore

*** message déplacé ***

Posté par bebedoc (invité)re : DM de maths 03-10-07 à 20:57

tu te serais pas tromper dans l'énoncé de départ au niveau de la caractérisation de vn ??

*** message déplacé ***

Posté par
flopflopre : DM de maths 03-10-07 à 21:00

oui je viens de m'en rendre compte excuser moi
u_0=3
u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{3}
v_n=\frac{7}{u_n}

*** message déplacé ***

Posté par
flopflopre : DM de maths 03-10-07 à 21:07

j'ai essayer de faire la première question mais je bloque ici :

P(n):0<u_n
initialisation : je démontre que u_0 est vraie : 3>0 donc P0 est vraie.
Hérédité: Je suppose que pour un certain indice k fixé, k 0 P(k) est vraie U_k>0
Au rang suivant je calcule U_{k+1}=\frac{u_k+{\frac{7}{u_k}}}{2} mais après je bloque et je sais pas si mon raisonnement est juste.

*** message déplacé ***

Posté par bebedoc (invité)re : DM de maths 03-10-07 à 21:22

ton raisonnement est bon, il te suffit d'étudier le signe de U k+1
U k > 0 et donc 7/Uk d'où l'addition des deux te donne un nombre positif.....
Je te laisse faire V n(t'as même pas besoin de récurrence je crois)

*** message déplacé ***

Posté par
flopflopre : DM de maths 03-10-07 à 21:51

ah oui merci de ton aide pour l'autre j'ai fait comme ceci comme v_{n+1}=\frac{7}{u_{n+1}}
et que u_{n+1}0 alors v_n0

Pour le 2 j'ai trouvé ceci :
u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{U_n^²+V_n^²-14}{4(u_{n+1})}
Donc après je développe l'énoncé et je retrouve la même chose.

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : petite démonstration 04-10-07 à 08:09

Bonjour,

L'énoncé semble faux (les 3 lignes définissant la suite). Peux-tu vérifier ?

Nicolas

Posté par
flopflopre : petite démonstration 04-10-07 à 18:47

Je vous remercie d'avance par votre aide si elle aura lieu.
L'énoncé était belle et bien faux
Cependant après une bonne recherche, j'ai réussi à le faire :

u_0=3
u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{3}
v_n=\frac{7}{u_n}

Démontrer que n u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{4u_{n+1}}(u_n-v_n)^2
Puis déterminer le sens de variation de la suite u puis celui de v

Donc la procédure est assez simple si on s'y prend correctement chose que je n'ai pas fait tous de suite !

on sait que u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{1}{4u_{n+1}}(u_n-v_n)^2
Après quelques calculs je trouve :
u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{(U_n+V_n)^2-28}{4(U_{n+1})}
Soit après avoir remplacé v_n par \frac{7}{u_n} je trouve:
u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{Un^2+Vn^2-14}{4(U_{n+1})}
Puis ensuite en développant le terme de l'énoncé, je trouve exactement la même chose donc je viens de démontrer le rapport.
Pour ce qui est de trouver le sens de variation je me suis servit d'une partie de l'énoncé que j'avais à faire avant mais que j'avais réussi. je trouve que U_n est décroissant et que V_n est croissant.

J'ai encore une petite question que je n'arrive pas à faire si vous pouviez m'aider et me corriger ce serai sympa vu que ce DM est pour demain

3/a: Montrer que n * , \frac{21}{8}u_n
b: En déduire que n * , u_{n+1}-v_{n+1}\frac{1}{10}(u_n-v_n)^2
c: Par récurrence montrer que n * , u_n-v_n\frac{1}{10^{2^n-1}}

Voici comment j'ai procédé pour le 3/a:
On a démontré que précédement nous avons U_nV_n
Mais après calcul d'un terme on a U_nV_1
Puis enfin U_n\frac{21}{8} car V_n est croissant  ( V_{n+1}>V_n)
Ma méthode est-elle juste?


Pour le 3/b
U_{n+1}-V_{n+1}\frac{1}{4U_{n+1}}(U_n-V_n)^2
Donc je remplace le 4U_{n+1} par \frac{21}{2} ( après des calculs)
Puis je trouve que U_{n+1}-V_{n+1}\frac{2}{21}(U_n-V_n)^2

Comme \frac{2}{21}inférieur à \frac{1}{10}
Alors nous avons bien U_{n+1}-V_{n+1}\frac{1}{10}(U_n-V_n)^2
Mon procédé vous semble t-il correct?


Et pour le 3/c c'est ici que j'ai le plus de mal
Voici comment j'ai procédé:
Initialisation:
indice de départ n=0 P(n):U_n-V_n
Donc U_0-V_0=\frac{2}{3}
et \frac{1}{10^{2^0-1}}=1
Donc P0 est vraie
Hérédité:
Je suppose que pour un certain indice k fixé, k0, P(k) est vraie:
U_{k+1}-V_{k+1}\frac{1}{10}(u_n-v_n)^2\frac{1}{10^{2^k-1}}
Donc P(k) vraie => P(k+1) vraie
Conclusion P0 vraie P héréditaire donc P(n) est vraie
Mais j'ai un gros doute pour celle-ci !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : petite démonstration 05-10-07 à 04:05

Si le DM est pour demain, j'arrive trop tard.
Merci de dire si tu souhaites tout de même que l'on jette un oeil.

Posté par
flopflopre : petite démonstration 05-10-07 à 19:06

j'ai eu la correction du dm après l'avoir rendu ^^ je peux maintenant analyser mes erreurs merci de votre lecture


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