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Pn+1-Pn

Posté par maximelinux (invité) 01-08-07 à 21:22

Salut,
J'arrive pas a faire un truc tout bete :p

calculer Pn+1-Pn (et déduire la vouleur de n qui rend pn maximale)

pn= 72n/(n+7)(n+6)(n+5)

Merci de votre aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 01-08-07 à 21:37

Bonsoir,

On calcule 3$P_{n+1}-P_n= 72 \frac{-2n+5}{(n+8)(n+7)(n+6)(n+5)}

On en déduit: 3$P_n-P_{n-1}=72\frac{-2n+7}{(n+7)(n+6)(n+5)(n+4)}

Si 3$P_n est maximal: 3$\{P_{n+1}-P_n<0 \Rightarrow -2n+5<0 \Rightarrow n>\frac{5}{2}\\P_n-P_{n-1}>0 \Rightarrow -2n+7>0 \Rightarrow n<\frac{7}{2}

On en déduit: 3$\frac{5}{2} < n < \frac{7}{2} donc 3$n=3

A vérifier

Posté par maximelinux (invité)re : Pn+1-Pn 01-08-07 à 21:39

Encore toi cailloux ? :p
Tu pourai détailler un peux :s c'est la deuxieme ligne que j'arrive pas a faire

Merci bcp

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 01-08-07 à 21:44

Oui, toujours là! je gêne ?

Pour passer de la première à la deuxième ligne, remplace le 3$n par 3$n+1 dans la première ligne; tu obtiens la seconde ligne

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 01-08-07 à 21:45

Pardon: remplace le 3$n par 3$n-1

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 02-08-07 à 09:47

Bonjour,

Je m' aperçois (un peu tard) que ma réponse est incomplète.

En toute logique, il faudrait maintenant démontrer que: 3$\forall n \in \mathbb{N},\,\,\,P_3-P_n>0

Posté par maximelinux (invité)re : Pn+1-Pn 02-08-07 à 16:39

Je comprends toujours pas comment tu fais sa ^_^

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 02-08-07 à 16:47

Re,

Tu as la relation: 3$P_{n+1}-Pn=72\frac{-2n+5}{(n+8)(n+7)(n+6)(n+5)}

En remplaçant 3$n par 3$n-1:

3$n+1 devient 3$n-1+1=n
3$n devient 3$n-1
3$-2n+5 devient 3$-2(n-1)+5=-2n+7
3$n+8 devient 3$n-1+8=n+7
3$n+7 devient 3$n-1+7=n+6
3$n+6 devient 3$n-1+6=n+5
3$n+5 devient 3$n-1+5=n+4

Et on obtient la seconde ligne non?

Posté par maximelinux (invité)re : Pn+1-Pn 03-08-07 à 13:26

Oké j'ai trouver pour pn+1-Pn
Mais a quoi sa sert tout le reste ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Pn+1-Pn 03-08-07 à 17:24

Bonjour,

En fait, dans le post de 21h37, on a démontré ceci: 3$P_2<P_3 et 3$P_4<P_3

C' est à dire: si 3$P_n est maximum, alors nécessairement, 3$n=3

C' est une condition nécessaire mais pas forcément suffisante:

La question est: 3$P_3 est-il bien un maximum pour 3$P_n?

C' est la réciproque: il faut encore démontrer que pour tout 3$n, 3$P_3-P_n \geq 0

Posté par
Dremire : Pn+1-Pn 04-08-07 à 06:06

Bonjour Cailloux,
tu y étais presque:
effectivement tu as démontré que P(3) est le seul maximum possible pour P(n) (et pas que P(2)<P(3) et P(4)<P(3), ce qui concerne la suffisance).
Bon alors achevons

n\geq 3>\frac{5}{2} \ \Rightarrow\ -2n+5<0 \ \Rightarrow\ P_{n+1}-P_n<0 \\ \text{donc pour } k>3,\ P_k-P_3=\sum_{n=3}^{k-1}\big(P_{n+1}-P_n\big)<0; \\ \\ n\leq 3<\frac{7}{2} \ \Rightarrow\ -2n+7>0 \ \Rightarrow\ P_n-P_{n-1}>0 \\ \text{donc pour } k<3,\ P_3-P_k=\sum_{n=k+1}^{3}\big(P_{n}-P_{n-1}\big)>0.


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