Oui ça se fait sûrement avec le principe des tiroirs de Dirichlet mais il faut encore faire correctement le raisonnement.

salut Glapion

j'ai essayé d'utiliser la convexité mais ça pareille inutile

ton énoncé n'est pas complètement clair. je comprends :
Soient donnés 9 points à coordonnées entières dans l'espace à trois dimensions. Montrer qu'un point à coordonnées entières se trouve à l'intérieur du segment qui relie deux des points.

une solution possible : Considérons les coordonnées (xi, yi, zi), i = 1, . . . , 9 modulo 2. On a 2³ = 8 possibilités.
On prend deux points ayant les mêmes coordonnées (mod 2) il y en a un puisqu'il y a 9 points et seulement 8 possibilités. Leur milieu est un point à coordonnées entières.

c'est quoi s'il vous plait  coordonnées (mod 2)

modulo 2 : le reste de la division d'un nombre entier par 2

Ok je vois

j'ai compris ce que vous avez écrit sauf la conclusion . pourquoi Leur milieu est un point à coordonnées entières ?

Si A et B sont entiers, comme ils ont le même reste de division par 2, ils sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs. (A+B)/2 est donc entier aussi parce que c'est soit la somme de deux nombres pairs, soit la somme de deux nombres impairs.

ah oui génial!!! maintenant j'ai tous compris comment tu as cette affinité dans le raisonnement vraiment génial .

merci